Pintar tablero de ajedrez

Question

La tarea es pintar cada uno de los $64$ cuadrados de un tablero de ajedrez ya sea de color azul o rojo. Necesito encontrar el número de formas distintas en que esto se puede hacer dado que cualquier cuadrado $2\times 2$ en el tablero tiene dos cuadrados rojos y dos cuadrados azules.

He intentado resolverlo para un tablero $4\times 4$, pero no estoy avanzando. Agradecería cualquier ayuda

Answer 1

Solo daré algunas pistas que te permitirán deducir fácilmente la fórmula que user14111 dio en un comentario. Llama a cualquier par de cuadrados adyacentes un domino, que puede ser horizontal o vertical. Llama vecinos a dos dominos si su unión es un cuadrado de $2\times2$. Llama a un domino monocromático para una coloración si sus cuadrados tienen el mismo color.

• Si una coloración tiene algún domino monocromático, entonces también lo es cualquier vecino de él (y tiene el color opuesto).
• Si hay algún domino horizontal monocromático, entonces hay uno en cada fila (en el mismo par de columnas)
• Si hay algún domino vertical monocromático, entonces hay uno en cada columna (en el mismo par de filas).
• Ambas condiciones no pueden cumplirse simultáneamente.
• Por lo tanto, basta con contar los siguientes casos, y sumar los resultados:
  1. Hay al menos un domino horizontal monocromático
  2. Hay al menos un domino vertical monocromático
  3. No hay dominoes monocromáticos.
• Una solución para el caso 1. está completamente determinada por la coloración de su primera fila, una solución para el caso 2. está completamente determinada por la coloración de su primera columna, y una solución para el caso 3. está completamente determinada por la coloración de su cuadrado superior izquierdo.

Answer 2

Para un tablero de ajedrez de $m \times n$ hay $2^m + 2^n - 2$ formas.

Caso I. Hay dos cuadrados horizontalmente adyacentes del mismo color: $2^m - 2$ formas.

Caso II. Hay dos cuadrados verticalmente adyacentes del mismo color: $2^n - 2$ formas.

Caso III. Ninguno de los anteriores: $2$ formas.

Pista para el Caso I: Hay $2^m - 2$ formas de colorear una fila para que dos cuadrados adyacentes tengan el mismo color. El resto de la coloración se determina a partir de eso; los colores deben alternar en cada columna. (Nota, por lo tanto, que los Casos I y II no se superponen.)

Answer 3

Tome cualquier cuadrado en cualquier lugar del tablero. Será parte de un cuadrado 2×2. Ahora las únicas posibilidades son

BB.
RR.

o

BR.
BR

o

RB
BR

Tenga en cuenta que un patrón alternante (RB), es decir, RB se crea ya sea solo en el eje x o solo en el eje y o en ambos. Por lo tanto, en el primer caso en cada dos columnas adyacentes habrá al menos un

R
B

o

B
R

Por lo tanto, no hay posibilidad de que dos cuadrados verticales adyacentes sean del mismo color. El mismo tipo de argumento para el caso 2

Por lo tanto, la presencia de solo unidireccional crearía un patrón alternante en el eje y o x. Entonces, en cada caso solo necesitamos decidir con qué color comenzar (me refiero a los cuadrados de la primera fila o columna) y debe haber al menos una repetición para que solo en una dirección ocurra un patrón alternante.

Por lo tanto, 2^8 - 2 para el eje x 2^8 - 2 para el eje y Y 2 para todos los cuadrados 2×2 ser bidireccional, es decir, sin cuadrado unidireccional o repetición de colores.

Answer 4

Observa que si la primera fila está coloreada de manera que existen dos cuadrados consecutivos del mismo color, entonces hay exactamente 1 manera de colorear el resto del tablero dando $2^m-2$ opciones de colores. Si la primera fila está coloreada alternativamente empezando con azul o con rojo, entonces la segunda fila tiene esas 2 posibilidades también y lo mismo sucede con la tercera fila y así sucesivamente dando otras $2^n$ combinaciones de colores. En total $2^n+2^m-2$ posibles combinaciones para un tablero de ajedrez de tamaño $m\times n$