Cuando se hace esta matriz tiene una parte integral de la raíz cuadrada?

Question

Vamos $d_1$, $d_2$, ..., $d_n$ ser enteros positivos. Deje $B$ $n \times n$ matriz $$\begin{pmatrix} d_1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & d_2 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & d_3 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & d_n \end{pmatrix}.$$ ¿Cuándo $B$ tienen una raíz cuadrada en $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{Z})$?

Motivación: La Amistad, el Teorema afirma que el grafo en el que cada par de vértices está unido por un camino de longitud $2$ es la Amistad "el Gráfico", que se puede ver en el artículo enlazado. Si $A$ es la matriz de adyacencia de una gráfica, con el grado de secuencia $(d_1, d_2, \ldots, d_n)$,$A^2=B$. Así que esto contribuye a la solución de $(d_1, d_2, \ldots, d_n) = (2,2,2,\ldots,2,2m)$,$n=2m+1$.

Me estaba preparando notas sobre la amistad y teorema de distrajimos tratando de averiguar cuando esta matriz tiene un número entero de la raíz cuadrada. Parecía que podría hacer un bonito reto para los de aquí.

Answer 1

$$\pmatrix{r&s\cr t&u\cr}\pmatrix{r&s\cr t&u\cr}=\pmatrix{d_1&1\cr1&d_2\cr}$$ $rs+su=1=(r+u)s$, $tr+ut=1=(r+u)t$, $s=t=r+u=\pm1$. $$\pmatrix{r&1\cr1&1-r\cr}^2=\pmatrix{r^2+1&1\cr1&(r-1)^2+1\cr}$$ $$\pmatrix{r&-1\cr-1&-1-r\cr}^2=\pmatrix{r^2+1&1\cr1&(r+1)^2+1\cr}$$ So for $n=2$, the answer is, $d_1-1$ and $d_2-1$ son los cuadrados de los números enteros consecutivos.