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La transformada de Laplace de integrado el movimiento Browniano geométrico

Hay alguna forma cerrada de la transformada de Laplace de un sistema integrado de movimiento Browniano geométrico ?

Un movimiento Browniano geométrico $X=(X_t)_{t \geq 0}$ satisifies $dX_t = \sigma X_t \, dW_t$ donde $W=(W_t)_{t \geq 0}$ denota un movimiento Browniano y el asociado integrado el movimiento Browniano es $\int_0^t X_s \, ds$. La transformada de Laplace de un sistema integrado de gometric el movimiento Browniano es así

$$ \mathcal{L}(\lambda) = \mathbb{E}\left[e^{-\lambda \int_0^t X_s ds } \right]$$

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Did Puntos 1

Lo que se sabe es explicado en C. Albanese, S. Lawi, la transformada de Laplace de un sistema integrado de gometric el movimiento Browniano, MPRF 11 (2005), 677-724, en particular en el párrafo de la Introducción comenzando por Una clase separada de los modelos...

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Thomas Hervé Puntos 368

Yo estaría muy sorprendido (para bien) si existe una forma cerrada de la solución de este. Aunque es sencillo de calcular $$E\left[\int_0^t X(s) ds\right]$$ la distribución de $$\int_0^t X(s) ds$$ is unknown. And without knowing the distribution, I believe it will be difficult to calculate the expectation. The only thing I can figure out is a lower bound $$E\left[e^{- \lambda \int_0^t X(s) ds} \right] \geq e^{-\frac{2\lambda}{\sigma^2}( e^{\frac{\sigma^2 t}{2}}-1)}$$ que es de poco uso.

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