$$ \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}} \times \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}} \veces\ldots$$
Ya sé que una forma de calcularlo:
$\cos{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{\pi}{4} = x$
$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}} = \sqrt{\frac{1+\cos{x}}{2}} = \cos{\frac{x}{2}}$
$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}} = \cos\frac{x}{4}$
Por lo tanto se convierte en
$P(n) = \cos{\frac{x}{2^n}}\cos{\frac{x}{2^{n-1}}} \cdots \cos{x}$
$P(n) = \frac{2\sin{\frac{x}{2^{n-1}}}\cos{\frac{x}{2^{n-1}}}\cos{\frac{x}{2^{n-2}}} \cdots\cos{\frac{x}{2}}}{2\sin{\frac{x}{2^{n-1}}}}$
$2\sin{x}\cos{x} = \sin{2x}$
$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sin{2x}}{2^n\sin{\frac{x}{2^{n-1}}}}$
$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sin{2x}}{2x}$
$\frac{2\sin\frac{\pi}{2}}{\pi} = \boxed{\frac{2}{\pi}}$
Ahora, estoy buscando otra solución, por favor comentar.