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$x^2+y^2=z^n$: Encontrar soluciones sin Pitágoras!

Se me presentó con el siguiente problema:

Demostrar que existen soluciones a $x^2+y^2=z^n$ todos los $n$, $x,y,z, n \in \mathbb{N}$

Me mostró que por ninguna terna Pitagórica $x^2+y^2=z^2$ y multiplicando por $z^{2(n-1)}$ obtenemos $(z^{n-1}x)^2+(z^{n-1}y)^2=(z^2)^n$, lo que me permite generar soluciones fácilmente para cualquier valor de $n$. Me las arreglé para encontrar varias preguntas similares en este sitio, como este sobre el caso específico $n=3$. Me doy cuenta de que todas estas preguntas tienen un enfoque similar y empezar con un triple de Pitágoras y utilizarla para generar soluciones generales.

Es allí una manera de probar que la declaración (o mejor aún, proveer soluciones de la ecuación) sin depender de Pitágoras?

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user30382 Puntos 48

La solución de $(x,y,z)=(0,1,1)$ funciona para todas las $n$.


Si usted no desea permitir que los $0$, luego deje $x,y\in\Bbb{N}$ ser tal que $$x+yi=(1+2i)^n.$$ Entonces $$5^n=((1+2i)(1-2i))^n=(1+2i)^n(1-2i)^n=(x+yi)(x-yi)=x^2+y^2.$$


Alternativamente, si $n$ es impar deje $m:=\frac{n-1}{2}$, de modo que $$(2^m)^2+(2^m)^2=2^n.$$


Finalmente, menos de manera constructiva, un teorema de Gauss nos dice que si un entero no divisible por cualquier primer congruente a $3$ modulo $4$, entonces se trata de una suma de dos cuadrados. Por lo tanto existen soluciones para cualquier $n$.

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nguyen quang do Puntos 196

Interpreto tu pregunta de la siguiente manera: para cualquier entero positivo $n$, existe un entero positivo $z$ tal que $z^n$ es una suma de dos cuadrados (de los números enteros). Pero de Gauss teorema sobre la suma de dos cuadrados - se basa en la descomposición de números primos en los enteros de Gauss - dice que un entero positivo $z$ es una suma de dos cuadrados iff para cualquier prime $p\equiv 3 mod 4$, el exponente $v_p(z)$ tal que $p^{v_p(z)}$ divide exactamente $z$ (esto podría ser $0$) es aún . Desde $v_p(z^n)=nv_p(z)$, llegamos a la conclusión de que : - si $n$ es incluso, cualquier $z$ va a hacer-si $n$ es impar, $z$ do fib $z$ sí es una suma de dos cuadrados .

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