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¿Cuál es la diferencia entre una base de Hamel y una base de Schauder?

Deje que $V$ ser un espacio vectorial con infinitas dimensiones. Una base de Hamel para $V$ es un conjunto ordenado de vectores linealmente independientes de $\{ v_i \ | \ i \I\}$ tal que $v \V$ puede ser expresado como una combinación lineal finita de la $v_i$'s; por lo que $\{ v_i \ | \ i \I\}$ se extiende $V$ algebraicamente: esta es la extensión obvia de lo finito-dimensional de la noción. Por otra parte, por Zorn Lema, una base siempre existe.

Si queremos dotar a $V$, con una topología, entonces decimos que un conjunto ordenado de vectores linealmente independientes de $\{ v_i \ | \ i \I\}$ es una base de Schauder si su extensión es denso en $V$ respecto a la topología. Esto equivale a decir que cualquier $v \V$ puede ser expresado como una infinita combinación lineal de los $v_i$'s, es decir, como una serie.

Como tengo entendido, si un $v$ puede ser expresado como combinación lineal finita de algún conjunto $\{ v_i \ | \ i \I\}$, entonces, radica en su tiempo; en otras palabras, si $\{ v_i \ | \ i \I\}$ es una base de Hamel, luego se extiende por todo el $V$, y por lo tanto es una base de Schauder con respecto a cualquier topología en $V$.

Sin embargo Por Enflo ha construido un espacio de Banach sin base de Schauder (ref. wiki). Así que supongo que debo a la conclusión de que mi razonamiento es equivocado, pero no veo cuál es el problema.

Cualquier ayuda es apreciada, gracias de antemano!


ACTUALIZACIÓN: (viene de la gran cantidad de respuestas y comentarios) Olvidando por un momento las preocupaciones acerca de la cardinalidad y apegarse a palmo-propiedades, se ha visto que tenemos dos diferentes nociones de independencia lineal: uno sobre combinaciones lineales finitas (Hamel-span, Hamel-la independencia, en la terminología introducida por rschwieb abajo), y otro que permite infinitas combinaciones lineales (Schauder-cosas). Así que el punto es que los vectores en una base de Hamel son Hamel independiente (por def), pero no necesita ser Schauder independiente en general. Como tengo entendido, esta es la razón fundamental por la que una base de Hamel no es automáticamente una base de Schauder.

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rschwieb Puntos 60669

La gente a mantener mencionar la restricción en el tamaño de una base de Schauder, pero creo que es más importante subrayar que estas bases son las bases con respecto a diferentes luces.

Ordinaria espacio vectorial, sólo combinaciones lineales finitas están definidos, y no puedes esperar nada más. (Vamos a llamar a estos Hamel combinaciones.) En este contexto, se puede hablar de conjuntos mínimos cuya Hamel combinaciones de generar un espacio vectorial.

Cuando el espacio vectorial tiene una buena topología, se puede definir contable de las combinaciones lineales (que llamaremos Schauder combinaciones) y hablar de conjuntos cuyos Schauder combinaciones generan el espacio vectorial.

Si usted toma una base de Schauder, todavía se puede utilizar como una base de Hamel y mira su colección de Hamel combinaciones, y usted debe ver a su Schauder-span normalmente será estrictamente mayor que el de sus Hamel-span.

También se plantea la cuestión de la independencia lineal: cuando hay dos tipos de span, ahora tiene dos tipos de independencia lineal de las condiciones. En principio, Schauder-la independencia es más fuerte porque implica Hamel-la independencia de un conjunto de base de los elementos.

Por último, permítanme swing de nuevo en torno a la cuestión de la cardinalidad de la base. Yo en realidad no creo (y sabe) que es absolutamente necesario tener infinidad de elementos en una base de Schauder. En el caso de que usted permite finito bases de Schauder, usted realmente no necesita infinito de combinaciones lineales, y la Schauder y Hamel bases coinciden. Pero definitivamente hay una diferencia en el infinito dimensional de los casos. En ese sentido, utilizando el modificador "Schauder" se vuelve realmente útil, así que tal vez es por eso que algunas personas están convencidas de que las bases de Schauder podría ser infinita.

Y ahora sobre el límite de las bases de Schauder sólo ser contable. Ciertamente, dado ningún espacio donde contables sumas convergen, usted puede tomar un conjunto de cualquier cardinalidad y todavía consideran su Schauder span (al igual que usted también podría considerar la posibilidad de su Hamel span). Sé que el caso de un separable espacio es especialmente útil y popular, y necesita una contables, de forma que es probablemente la razón por la que las personas tienden a pensar de Schauder bases contables. Pero yo había pensado innumerables bases de Schauder también fueron utilizados para inseparable de Hilbert espacios.

21voto

Brian Rushton Puntos 10407

El problema es que un elemento de una base de Hamel podría ser una infinita combinación lineal de las otras base de los elementos. Esencialmente, la dependencia lineal de los cambios de definición.

19voto

DaedalusFall Puntos 2032

Tal vez un buen punto para empezar es útil corolario de Baire Teorema de Categoría

la cardinalidad de una base de Hamel de un Espacio de Banach puede ser finito o incontable. No puede ser contables

La prueba es un encantador de la aplicación de Baire teorema.

Ahora para dar un ejemplo claro, podemos considerar el espacio $\ell^2 $, que tiene la base estándar $ M:=$ $\lbrace e_n \rbrace $, que no es una base de Hamel, pero una de Hilbert base (o Schauder, en este caso los dos coinciden). Para ver las diferencias considerar el lineal lapso de $ M $. Es trivial ver que es de $ c_{00} $ pero (utilizando orthonormality propiedad de $ M $) cada vector $ v \en \ell^2 $ se puede expresar como $ v=\sum_{k=1}^{\infty}(v, e_k) e_k $

De hecho, la restricción de combinaciones lineales FINITAS es una fuerte restricción. Permítanme mostrarles otro ejemplo similar. Considerar $ c_0 $ el espacio de Banach de las secuencias convergente a 0. $ M$ es una base de Schauder (verificar) pero teniendo en cuenta, por ejemplo, $ u= \lbrace \frac {1}{n}_n \rbrace $ no se puede expresar u como combinación lineal finita de elementos de M . Para cambiar el significado de la base en el hecho de cambiar "¿cómo de grande es su"duración de la

4voto

sleske Puntos 5824

Hay dos requisitos en una base de Schauder:

(a) debe ser contables;

(b) se necesita no sólo ser linealmente independientes, sino para satisfacer los infinitary analógica de esta propiedad: dado cualquier infinita lineal de dependencia $\sum_{i \in \mathcal{I}} a_i \mathbf{v}_i = 0$, debemos tener $a_i = 0$ para cada i$$.

Ambos de estos va a fallar por cualquier Hamel base de un infinito-dimensional espacio de Banach.

2voto

detnvvp Puntos 3451

En el caso de un infinito dimensional completar el espacio, si usted tiene un espacio de Banach, entonces cualquier Hamel no existe una base contable. Por otro lado, cualquier Schauder base tiene que ser contable.

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