160 votos

Transposición de la inversa frente a la inversa de la transposición

No puedo encontrar la respuesta a esto usando Google.

¿Es la transposición de la inversa de una matriz cuadrada la misma que la inversa de la transposición de esa misma matriz?

5 votos

Esto se cumple si el anillo subyacente es conmutativo como muestran las respuestas. Si el anillo subyacente no es conmutativo, puede fallar.

0 votos

¿Quiere decir que si las entradas de las matrices no tienen la propiedad conmutativa, entonces esto no se cumple necesariamente? Interesante. Tal vez deberías añadir eso, con un poco más de detalle, a la respuesta aceptada existente.

2 votos

@user44400: ¡una gran observación! Me he dado cuenta ahora por $2\times 2$ matrices sobre cuaterniones que podemos tener matrices invertibles cuya transposición no es invertible ( por supuesto la transposición conjugada lo es...)

231voto

mkoryak Puntos 18135

Es de $(A ^ {-1}) ^ T = (A ^ T) ^ {-1} $ pregunte.

Bien $$ (A ^ T) (A ^ {-1}) ^ T = (A ^ {-1} A) ^ {T} = I ^ T = I. $$ Esto prueba que la inversa de $A ^ T$ es $(A ^ {-1}) ^ T$. Así que la respuesta a tu pregunta es sí.

Aquí he utilizado esta propiedad $$ A ^ TB ^ T = (BA) ^ T. $$ y hemos usado que la inversa de una matriz $A$ es exactamente la matriz $B$ tal que $AB = I$.

0 votos

Así que mientras abajo @haslersn iguala (A1)T=(AT)-1, tú no AT-1 en tu prueba en absoluto. ¿Cómo se deduce tu conclusión?

0 votos

@atlex2: Creo que has entendido algo mal. Nosotros somos probando que $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ .

24voto

haslersn Puntos 269

Dado que $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ es invertible, $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ se mantiene.

Prueba:

$A$ es invertible y $\textrm{rank }A = n = \textrm{rank }A^T,$ así que $A^T$ también es invertible. Conclusión: $$(A^{-1})^T = (A^{-1})^TA^T(A^T)^{-1} = (AA^{-1})^T(A^T)^{-1} = \textrm{id}^T(A^T)^{-1} = (A^T)^{-1}.$$

16voto

Kendall Puntos 768

Supongamos que $A$ es una matriz cuadrada invertible. Entonces $A$ tiene un inverso a la izquierda; llamémoslo simplemente $C$ para evitar una notación confusa al principio. Así que, $A$ siendo (izquierda) invertible significa la existencia de algún $C$ para que $$CA=I$$ Tomando las transposiciones en ambos lados y utilizando la regla de transposición de un producto se obtiene $$A^T C^T = I$$ La última ecuación muestra que $A^T$ tiene un inverso de la derecha (que en realidad es $C^T$ ), y así $A^T$ es (derecho) invertible.

Haz lo mismo para las inversas del otro lado, o apela al hecho de que para matrices de dimensión finita tener una inversa de un lado es suficiente para asegurar que la misma matriz es una inversa de dos lados.

Lo que hemos demostrado entonces, es que $\left( A^T \right) ^{-1}$ existe y viene dada por la fórmula: $$\left( A^T \right) ^{-1} = \left( A^{-1} \right) ^T$$

Esto también demuestra, ya que la transposición de una transposición es la matriz original, que si $A$ no es invertible, entonces tampoco lo es $A^T$ .

6voto

Marek GorgWilde Puntos 61

Yo derivaría la fórmula paso a paso de esta manera.

Si tenemos una matriz invertible A, podemos escribir la siguiente ecuación (definición de matriz inversa):

$AA^{-1} = I$

Transpongamos ambos lados de la ecuación. (usando $I^{T} = I$ , $(XY)^T = Y^TX^T$ )

$(AA^{-1})^T = I^T$

$(A^{-1})^{T}A^T = I$

De la última ecuación podemos decir (basándonos en la definición de matriz inversa) que $A^T$ es la inversa de $(A^{-1})^{T}$ . Así que podemos escribir lo siguiente.

$(A^{-1})^{T})^{-1}=A^T$

Invirtiendo ambos lados de la ecuación obtenemos la fórmula deseada.

$(A^{-1})^{T}=(A^T)^{-1}$

3voto

karlgold Puntos 3636

Bueno, si el anillo subyacente no es conmutativo, $(AB)^T = B^{T}A^T$ ni siquiera es válida para $1 \times 1$ -matrices.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X