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Una pregunta acerca de los límites en el infinito

Tengo esta pregunta:

Deje $f, g$ funciones definidas en el intervalo de $[0,\infty)$ y deje $L \in \mathbb{R}$ ser un número real tal que $$\lim_{x \to \infty}\left(f(x)\cdot g(x)\right)= L.$$

(1) Si $\lim_{x \to \infty}f(x) = m$ donde $0 \neq m \in \mathbb{R}$ es un número real distinto de cero, Debe ser el caso que $\lim_{x \to \infty}g(x)$ existen?

(2) Si $\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty$ Debe ser el caso que $\lim_{x \to \infty}g(x)$ existen?

Yo tener tiempo difícil tratando de probar y encontrar un contraejemplo. Gracias.

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Steven Lu Puntos866

$$ \lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}{f(x)g(x)\más de f(x)}= {\lim_{x\to\infty}f(x)g(x)\\lim_{x\to\infty}f(x)}={L\sobre m}. $$ (¿por qué podemos dividir por $f(x)$?)

Si (2), entonces $$ \lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}{f(x)g(x)\más de f(x)}=0 $$ porque (delimitada)/(cosa$\to\infty$)$\to 0$.

6voto

Sabemos que si $\lim\limits_{x\rightarrow a}{y(x)}=a$ $\lim\limits_{x\rightarrow a}{w(x)}=b$ $\lim\limits_{x\rightarrow a}{\left(y(x)\times w(x)\right)}=ab$

Ahora $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}{\dfrac1{f(x)}}=m$ ($m$ es no-cero)

Considerar las funciones de $y(x)=\dfrac{1}{f(x)}$$w(x)=f(x)\times g(x)$. Ahora como tanto los límites de $y(x)$ $w(x)$ existe. Si se considera el límite de $y(x)\times w(x)\color{grey}{=g(x)}$, se puede demostrar que $g(x)$ se acerca al límite $\dfrac{L}{m}$.


Sobre la segunda pregunta:

  • Como te habrás dado cuenta, antes de definir el límite, nos están imponiendo una condición que $L$ es real quiero evitar cosas como $\lim{f(x)}=\infty$, y afirman que $\lim f(x)$ existen .Escribimos $f(x)\rightarrow +\infty$$x\rightarrow a$, en lugar del $\lim$ es igual a $\infty$). Ahora esto se convierte en algo difícil! Aunque parece que la prueba anterior las obras de esta también, no es así. No se puede utilizar como el producto de los límites es igual al límite del producto es aplicable sólo si el límite de ambos las funciones de 'existir', la existencia de límite de $f(x)$ es un problema aquí, así que tenemos que resolver a más elementales técnica.

Decimos que una función $f(x)$ enfoques $\infty$ si para cada a $M\in \mathbb{R}$ podemos encontrar una $N\in \mathbb{R}$ tal que $$x\ge N \implies f(x)\ge M.$$

Ahora como $f(x)g(x)$ enfoques $L$ podemos decir que por cada $\varepsilon^{'} =\varepsilon \cdot M -L$ existe un $N_1$ tal que $x>N_1 \implies -\varepsilon<\frac{L-\varepsilon^{'}}{f(x)}<g(x)<\frac{L+\varepsilon^{'}}{f(x)} <\varepsilon \tag{1}$

Y por lo tanto $g(x)$ enfoques $0$

(Para la demostración de (1) se tiene que asumir que el $L\ge0$, para el caso de $L<0$ se puede considerar $\varepsilon^{'}=\varepsilon \cdot M +L$ y se llega a la misma desigualdad. También la división por $f(x)$ es válido como podemos tener un $N_2$ tal que para todo $x>N_2$, $f(x)$ es mayor que $0$)

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