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Demostrar que la no-trivial de la raíz de $\sum_{k=1}^{2n} p_kx^k=0$ tiende a $-1$

Me miró $$ \sum_{k=1}^{2n} p_kx^k=0, $$ donde $p_k$ $k$th prime. He encontrado que, junto a la trivial raíz de $x_0=0$, no sólo es uno más de la raíz de $x_n$ que tiende hacia la $-1$, cuando se $n$ aumenta. Mi pregunta es:

Puede ser demostrado que el $\lim \limits_{n\to \infty} x_n =-1$?

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Eric Naslund Puntos50150

Es cierto, pero parece ser difícil. Me dan un bosquejo de una prueba a continuación. Deje $z=-x$, por lo que nuestro polinomio parece $$f(z)=\sum_{k=1}^{n}\left(p_{2k}z-p_{2k-1}\right)z^{k}$$ where $z$ is positive. Our goal is to show that there is a real root that approaches $1$, and to do this we use the intermediate value theorem. Taking $z=1$, since $p_{2k}>p_{2k-1}$, we see that the above sum is positive, that is $f(1)>0$. Now, I claim that for a suitably chosen constant $C>0$, we have that $$f\left(1-\frac{C}{n}\right)<0.$$ If one can prove this, then by the intermediate value theorem, there exists a root of the original polynomial which approaches $-1$. Here is a quick sketch about how the proof should go: On average, we have that $$p_{2k}-p_{2k-1}\sim\log(2k),$$ and so, on average, $$\left(1-\frac{1}{2k}\right)p_{2k}-p_{2k-1}=o\left(\log(2k)\right),$$ which is quite small. This means that for $C>\frac{1}{2},$ on average, $$\left(1-\frac{C}{k}\right)p_{2k}-p_{2k-1}\ll-\log(2k).$$ Moving from an average statement to the whole can be tricky because we are dealing with the primes and because we have a decreasing weight function to handle. On top of this, we must choose $z=1-\frac{C}{n},$ so the above will hold only for a portion of the $k$, and for small $k$ the difference may be positive on average. We choose $c>0$ depending on $C$ so that we have the correct inequality for $k>cn$. Then we will split the sum and look at $$\sum_{k>cn}^{n}\left(p_{2k}\left(1-\frac{C}{n}\right)-p_{2k-1}\right)\left(1-\frac{C}{n}\right)^{k}+\sum_{k\leq cn}^{n}\left(p_{2k}\left(1-\frac{C}{n}\right)-p_{2k-1}\right)\left(1-\frac{C}{n}\right)^{k}.$$ The coefficients of the first sum are negative on average, and the second sum is a quantity that we hope to bound outright. To deal with the fact that we only have the coefficients on average, and that we have a weight $$\left(1-\frac{C}{n}\right)^{k},$$ tomamos nota de que el peso está muy bien educados en intervalos cortos, por lo que podemos apelar a los resultados en relación con el primer brechas en intervalos cortos de tiempo. Por la división en estos intervalos cortos de tiempo, el trato con el promedio de allí, y el movimiento de regreso a la totalidad de la suma, podemos demostrar que la primera suma anterior es grande y negativo. El siguiente objetivo es mostrar que la segunda suma no es demasiado grande, y así toda la cantidad es negativa.

Edit: parece que $C$ también debe depender de $n$.

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