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Prueba $f(x)=0$ cuando $f(2x^2-1)= 2xf(x)$

Dejemos que $f : \left[-1,1\right] \to \mathbb R$ sea una función continua. Supongamos que $$f(2x^2-1)= 2xf(x)$$ para todos $x \in \left[-1,1\right]$ . Demostrar que $f(x)=0$ para todos $x\in[-1, 1]$ .

Es sencillo para los números enteros. Otro hecho que he notado es que $$f(2(-x)^2-1)= (-2x)f(-x)= 2xf(x)$$ $$ x\bigg(f(x)+f(-x)\bigg) =0 $$ Por lo tanto, $f(x)$ es la función impar para todo $x \ne 0$ . Ayúdame con el siguiente paso, por favor.

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Kelenner Puntos 9148

Poner $x=\cos(u)$ obtenemos $f(\cos(2u))=2\cos(u)f(\cos(u))$ y por inducción que $$f(\cos(2^nu))=2^n\prod_{k=0}^{n-1}\cos(2^ku))f(\cos(u))$$ Multiplicamos por $\sin(u)$ utilizamos $2\sin(u)\cos(u)=\sin(2u)$ y obtenemos que $\sin(u)f(\cos(2^nu))=\sin(2^nu)f(\cos(u))$ .

Ahora dejemos que $k$ un número entero, elija $\displaystyle u=(\frac{2k+1}{2^n})\pi/2$ . Entonces, como $f(0)=0$ obtenemos $\displaystyle f(\cos((\frac{2k+1}{2^n}))\pi/2)=0$ Ahora bien, si $A=\{\frac{2k+1}{2^n}, k\geq 0, n\geq 0\}$ sabemos que $A\cap [0,2]$ es denso en $[0,2]$ . Por lo tanto, por continuidad obtenemos que $f(\cos(x\pi/2))=0$ para $x\in [0,2]$ y hemos terminado.

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