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Significado físico del espacio nulo de una matriz

¿Qué es un intuitivo sentido de que el espacio nulo de una matriz? ¿Por qué es útil?

Yo no estoy buscando los libros de texto de las definiciones... mi libro de texto me da la definición, pero yo no "llegar".

E. g.: Pienso en el rango R de una matriz como el número mínimo de dimensiones que una combinación lineal de las columnas habrían; me dice que, si he combinado los vectores en sus columnas y en orden, me gustaría obtener un conjunto de coordenadas de una R-dimensiones del espacio, donde R es mínimo (por favor corríjanme si estoy equivocado). Así que eso significa que me puedo relacionar rango (y también de la dimensión) real de los sistemas de coordenadas, y así que tiene sentido para mí. Pero no puedo pensar en ningún significado físico de un espacio nulo... podría alguien explicar lo que su significado sería, por ejemplo, en un sistema de coordenadas?

Gracias!

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Gavin Puntos183

Si $a$ es la matriz, el nulo espacio es simplemente, el conjunto de todos los vectores $v$ tal que $A \cdot v = 0$. Es bueno pensar en la matriz como una transformación lineal; si dejas que $h(v) = A \cdot v$, entonces el nulo espacio es de nuevo el conjunto de todos los vectores que son enviados al vector cero por $h$. Piense en esto como el conjunto de vectores que pierden su identidad como $h$ se aplica a ellos.

Tenga en cuenta que el nulo espacio de forma equivalente, el conjunto de soluciones de la ecuación homogénea $A \cdot v = 0$.

La nulidad es el complemento del rango de una matriz. Ambos son realmente importantes; aquí hay una pregunta similar en el rango de una matriz, usted puede encontrar algunas buenas respuestas por qué no.

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Justin Chan Puntos65

Esta es una respuesta que recibí de mi propia pregunta, es bastante impresionante!

"Supongamos que la matriz a representa Un sistema físico. Como ejemplo, vamos a suponer que nuestro sistema es un cohete, y a es Una matriz que representa las direcciones que se nos puede ir sobre la base de nuestros propulsores. Entonces, ¿qué hace el espacio nulo y la columna espacio representan?

Así que vamos a suponer que tenemos una dirección que nos interesa. Es en nuestra columna de espacio? Si es así, entonces podemos avanzar en esa dirección. El espacio columna de a es el conjunto de instrucciones que podemos lograr basada en nuestros propulsores. Supongamos que tenemos tres propulsores igualmente espaciados alrededor de nuestro cohete. Si todos están perfectamente funcional, a continuación, nos puede mover en cualquier dirección. En este caso nuestra columna espacio es el de toda la gama. Pero, ¿qué sucede cuando un propulsor se rompe? Ahora solo tenemos dos propulsores. Nuestro sistema lineal se han cambiado (la matriz a será diferente), y nuestra columna de espacio reducido.

¿Cuál es el espacio nulo? El espacio nulo son el conjunto de propulsor de las instrucciones que completamente los residuos de combustible. Son el conjunto de instrucciones donde nuestros propulsores se empuje, pero la dirección no será cambiado en absoluto.

Otro ejemplo: tal vez Una puede representar una tasa de retorno de las inversiones. El rango son todos los índices de rentabilidad que son alcanzables. El espacio nulo son todas las inversiones que se pueden hacer que no iba a cambiar la tasa de retorno.

Otro ejemplo: la iluminación de las habitaciones. El rango de a representa el área de la habitación que puede ser iluminado. El espacio nulo de a representa el poder que se puede aplicar a las lámparas que no cambie la iluminación en la habitación." - NicNic8

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Bill Puntos41

Imaginar un conjunto de direcciones del mapa a la entrada de un bosque. Puede aplicar las direcciones a diferentes combinaciones de rutas. Algunas combinaciones de ruta le llevará a la entrada. Son el espacio nulo de las indicaciones del mapa.

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Nirav Joshi Puntos1

Piense en un observador y n el número de los altavoces a diferente distancia y direcciones. Ahora hacer una matriz de las ecuaciones para el sonido de cada altavoz, basado en la contribución de su amplitud, frecuencia y fase. Espacio nulo se formará de todos las combinaciones posibles que se puede definir de una manera que, el sonido total/superpuestos en lugar de observador será cero. Medios, observador no oirá nada aunque los altavoces están jugando.

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