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¿Cuál es la diferencia entre homotopía y Homeomorfismo?

¿Cuál es la diferencia entre homotopía y Homeomorfismo? ¿Sean X e Y dos espacios, supuestamente X e Y son equivalentes de homotopía y tienen la misma dimensión, puede demostrarse que son homeomórficos? ¿De lo contrario, hay ningún contraejemplo? Por otra parte, ¿qué condiciones se deben agregar a la homotopía conseguir Homeomorfismo?

Además asumimos X e Y son orientable.

56voto

ciberandy Puntos 104

Deje que $X$ se la letra

$ $ \ \ \ \ \ \ mathsf{X}\ \ \ \ \ $$ y $Y$ la letra

$ $ \ \ \ \ \ \ mathsf{Y}\ \ \ \ \ $$

Entonces $X$ y $Y$ son homotopy equivalente, pero no son homeomórficos.


Boceto de la prueba: deja de $f:X\to de$ Y mapa de tres de las puntas de la $\mathsf{X}$ en $\mathsf{Y}$ en la forma obvia, y se deja mapa el cuarto flanco hasta el punto en el centro. Vamos $g:Y\to X$ asignar los $\mathsf{Y}$ y en las tres puntas de la $\mathsf{X}$. Entonces $f$ y $g$ son continuos, y $f$ es un surjection pero no es inyectiva, mientras que $g$ es una inyección, pero no es surjective. Ahora las composiciones $f\circ g$ y $g\circ f$ es muy fácil de ver para homotópica a las identidades en $X$ y $Y$, entonces $X$ y $Y$ son homotopy-equivalente.

En otras palabras, se observa que $\mathsf de$ Y es una deformación retractarse de $\mathsf X$. Alternativamente, se observa que $\mathsf X$ y $\mathsf de$ Y ambos se echan atrás en el punto en el centro.

Por otro lado, $X$ y $Y$ no son homeomórficos. Por ejemplo, la eliminación del punto en el centro de la $\mathsf{X}$ produce un espacio con cuatro componentes conectados, mientras que la eliminación de cualquier punto de la $\mathsf{Y}$ de los rendimientos en la mayoría de los tres componentes conectados.

10voto

Christopher A. Wong Puntos 12513

Cuando dices $X$ y $Y$ son homotópicas, supongo que quiere decir que sean equivalentes de homotopía. de todos modos, es más débil que homeomórficos equivalencia de homotopía.

Contraejemplo a su reclamo: el cilindro 2-dimensional y una tira de Möbius son variedades 2-dimensionales y homotopía equivalente, pero no homeomórficos.

Lamentablemente no soy un experto en el tema así que no estoy seguro cuáles son los supuestos más débiles para agregar a homotopía para obtener un Homeomorfismo.

7voto

mland Puntos 1701

Este es el contenido de cierta rigidez teoremas.

Usted debe comprobar fuera de la Mostow rigidez teorema. Esto implica que, dadas dos liso cerrado colectores que son homotopy equivalente y tanto hiperbólico (constante de la sección transversal de la curvatura = -1) entonces son diffeomorphic (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Mostow_rigidity_theorem ).

Tenga en cuenta que por el Cartan-Hadamard teorema se sigue que un hiperbólico colector es lo que se llama asféricas, es decir, su cobertura universal es contráctiles.

Hay una muy hermosa conjetura debido a Borel (el Borel Conjetura) que puede ser formulada de la siguiente manera.

Deje que $f: M \N$ ser un homotopy equivalencia de cierre esférico de los colectores. Entonces $f$ es homotópica a una homeomorphism, y en particular $M$ y $N$ se homeomórficos.

Tenga en cuenta que esta conjetura supone menos acerca de los colectores (cada hiperbólico colector es esférico, pero no todos los asféricas colector es hiperbólica), pero también una disminución en la conclusión (los colectores son homeomórficos no diffeomorphic o isométrica).

5voto

Sigur Puntos 3895

Buscar espacios de 3 dimensiones de la lente de tipo $L(p,q)$, cociente de $S ^ 3$ por una libre acción ortogonal del Grupo cíclico $\mathbb{Z}_p$. Más precisamente, buscar los espacios $L(5,1), L(5,2)$ y $L(7,1), $ L(7,2).

2voto

emgee Puntos 3919

Más simple contraejemplo es $X = $ B_n(0) (un baile de dimensión $n$ alrededor de $0$) y $Y = \{0\}$ con la $H(t,x) de contracción = (1-t) x$, es decir, $H(0,x) = x, $H(1,x) = 0$. Usted no encontrará un Homeomorfismo, puesto que los conjuntos aún no tienen la misma cardinalidad.

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