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¿Cuándo los ángulos son negativos?

En grados anteriores aprendimos que, por ejemplo, en un triángulo equilátero todos los ángulos son de 60 grados. Ahora en la escuela secundaria me enseñan que medir los ángulos en el sentido contrario a las agujas del reloj y en el sentido de las agujas del reloj hace una diferencia.

¿Eso significa que en un triángulo equilátero un ángulo es 60 que se mide en sentido contrario a las agujas del reloj y uno es -60 grados que se mide en sentido de las agujas del reloj y no sé, estoy bastante confundido.

¿Cómo se suma a 180 entonces?

Me enseñaron este concepto de ángulo negativo en trigonometría en círculos unitarios que entendí muy bien, pero ¿por qué es si no es aplicable a cualquier figura geométrica?

Parece que me falta algo de sentido común.

4 votos

Generalmente, en las figuras geométricas, no nos importan los ángulos negativos por la misma razón que no nos importan los lados negativos.

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Como dijo Silva los ángulos negativos no son tan útiles en geometría, pero son muy utilizados en trigonometría y álgebra compleja donde se expresan en radianes

4 votos

Es un ángulo orientado no un ángulo geométrico.

35voto

Hurkyl Puntos 57397

El siguiente segmento de línea en la recta numérica tiene una longitud de cuatro.

    ---------
0 1 2 3 4 5 6 7

La siguiente flecha dibujada en la recta numérica representa un desplazamiento de $-4$ .

    <--------
0 1 2 3 4 5 6 7

La siguiente flecha dibujada en la recta numérica representa un desplazamiento de $4$ .

    -------->
0 1 2 3 4 5 6 7

Puedes hacer lo mismo con los ángulos; a veces sólo te importa la magnitud, pero otras veces eliges una orientación: decides en qué cateto del ángulo empiezas y en qué cateto terminas. Cuando orientamos los ángulos, solemos elegir el sentido contrario a las agujas del reloj para que sea la dirección positiva, y el sentido de las agujas del reloj para que sea la dirección negativa.

Aún más interesante es la idea de la posición angular frente al desplazamiento angular. Si consideramos un ángulo cuyo vértice es el origen y un cateto (el cateto inicial) es el positivo $x$ eje, y luego poner la otra pierna en $270^\circ$ sería el negativo $y$ eje, pero $-90^\circ$ también sería el negativo $y$ eje.

La idea de que $270^\circ$ y $-90^\circ$ representar el mismo ángulo es la idea de posición angular.

Sin embargo, hay una diferencia entre ir realmente en sentido contrario a las agujas del reloj $270^\circ$ alrededor del plano desde el positivo $x$ al eje negativo $y$ eje, y yendo $90^\circ$ en el sentido de las agujas del reloj (es decir $-90^\circ$ en sentido contrario a las agujas del reloj) desde el positivo $x$ al eje negativo $y$ eje. Cuando esta diferencia es importante, la llamamos "desplazamiento angular". Podríamos incluso considerar la posibilidad de dar una vuelta completa al origen para volver al $x$ eje continuando luego otras tres cuartas partes de la vuelta: esto sería un desplazamiento de $630^\circ$ ¡!


Como adición, si orientamos los dos catetos del ángulo de manera que apunten en direcciones opuestas en relación con el vértice, entonces solemos considerar que el cateto que apunta en dirección contraria al vértice es el cateto inicial, y el cateto que apunta en dirección al vértice es el cateto final.

Así, si orientamos los tres lados de un triángulo de forma que todos los lados apunten en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del triángulo, entonces todos los ángulos se orientan también en sentido contrario a las agujas del reloj.

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Gracias por la respuesta... Una pregunta... ¿entonces los ángulos negativos sólo están en la trigonometría y los números complejos y en ningún otro lugar de las matemáticas?

3 votos

@user166748 ¿Hay alguna otra área de las matemáticas en la que se utilicen los ángulos? Si la hay, probablemente los ángulos negativos también se puedan utilizar allí.

4voto

Bernard Puntos 34415

En geometría plana, los "ángulos negativos" se utilizan cuando se definen los ángulos de un pair of vectors ; es una medida para el rotation que lleva el primer vector al segundo - de modo que $ \mathrm{angle}(\vec u,\vec v)=-\mathrm{angle}(\vec v,\vec u)$ . Como ejemplo en la vida habitual, no es lo mismo atornillar que desatornillar.

La diferencia entre los ángulos geométricos y los ángulos "algebraicos" es similar a la diferencia entre un segmento y un vector.

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¿entonces los ángulos negativos sólo están en el álgebra vectorial.. la trigonometría y los números complejos y en ningún otro lugar de las matemáticas?

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Se te olvidó decir que estos ángulos "positivos" y "negativos" sólo tienen sentido para un plano (dos dimensiones) con orientación. En 3D los ángulos entre vectores también son vectores y no tienen ordenación en ellos.

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@IncnisMrsi: Tienes razón. La referencia a la geometría plana estaba implícita, pero es mejor decirlo explícitamente.

3voto

Chinmay Nirkhe Puntos 447

La medición de ángulos negativos no existe. Lo siento.

En una figura geométrica como un triángulo todos los ángulos tienen medida positiva.

Así que en un triángulo nuestros ángulos podrían tener medidas de $30^o, 60^o, 90^o$ o $\pi/6, \pi/3, \pi/2$ si te gusta. Estas son las medidas de ángulos físicos que nunca son negativos.

Sin embargo las mediciones se hacen en grados o radianes que es un sistema numérico y podemos pensar en un número como $-60^o$ o $-\pi/6$ . Estos son números, simple y llanamente.

Probablemente hayas visto los "ángulos negativos" en la clase de trignometría cuando los confundías con los números negativos de las medidas de los ángulos. Funciones como $\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ etc. son fáciles de definir para $\theta$ entre $0^o$ y $360^o$ pero podemos definirlos con la misma facilidad para cualquier otra medida, incluyendo números como $-60^o$ al darse cuenta de que en el círculo unitario que va $-60^o$ (o $60^o$ en el sentido de las agujas del reloj) es lo mismo que ir $300^o$ en sentido contrario a las agujas del reloj.

Espero que esto ayude.

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Gracias por la respuesta @Chinmay Nirkhe- Una pregunta... ¿entonces los ángulos negativos sólo están en la trigonometría y los números complejos y en ningún otro lugar de las matemáticas?

4 votos

Me pregunto por qué tan despistada respuesta definiendo físico ángulos en un triángulo (matemático) recogió nada menos que 6 upvotes. Introduce una terminología confusa, pero incluso después se contradice: "En una figura geométrica todos los ángulos tienen medida positiva" pero "Las funciones como sin, cos, tan, etc. son fáciles de definir para entre 0° y 360° pero podemos definirlas con la misma facilidad para cualquier otro medición incluyendo números como 60°".

9 votos

Esta respuesta es mala porque afirma que la medición de ángulos negativos no existe cuando es evidente que sí existe (en relación con una posición y un eje fijos). Esta respuesta lo explica mejor.

1voto

Kristoffer Ryhl Puntos 4192

Los ángulos no son negativos, sin embargo en trigonometría hablamos fácilmente de ellos de todas formas. Lo que utilizamos para darles sentido es aritmética modular .

La aritmética modular ordena los números en un reloj o ciclo, por ejemplo el modular 3 contamos $0,1,2,0,1,2,0,1,\dots$ . Simplemente, sólo tenemos $3$ enteros, y si llegamos a $3$ simplemente volvemos a $0$ . Por lo tanto, decimos que $3$ modulu $3$ es $0$ que se escribe como $3\equiv0\pmod{3}$

Al usar números modulares, tampoco tenemos números negativos, y si bajamos de cero, terminamos en la parte superior de nuevo, así que $-1\equiv2\pmod{3}$

Tenemos una regla aquí y es que podemos sumar o restar el número al que estamos haciendo el módulo tantas veces como queramos, y seguirá siendo el mismo.


Cuando se utilizan grados, un giro completo en un círculo es $360^\circ$ y cuando hemos realizado una vuelta completa en círculo, volvemos al punto de partida. Esto es igual que la operación de módulo de la que hablé antes, y podemos usar el concepto de módulo para explicar cómo funcionan los ángulos cuando van por debajo de $0^\circ$ o superior $360^\circ$ .

Cuando se trabaja con grados, se vuelve a cero en $360^\circ$ por lo que en grados tiene sentido decir que los grados funcionan utilizando el módulo $360^\circ$ . Si entendemos los ángulos de esta manera, podemos explicar qué es realmente un ángulo negativo. Tomemos por ejemplo $-90^\circ$ podemos aplicar la aritmética modular, que nos permite sumar $360$ a cualquier ángulo sin cambiarlo: $-90^\circ\equiv270^\circ\pmod{360^\circ}$ y si dibujas esos dos ángulos en la circunferencia unitaria, observa cómo los ángulos apuntan al mismo lugar.

Todo esto también explica por qué ir por encima de $360^\circ$ le permite volver a bajar, es decir $400^\circ\equiv40^\circ\pmod{360^\circ}$ y, por tanto, el ángulo $40^\circ$ y $400^\circ$ es lo mismo.

Cuando se habla de radianes, es prácticamente lo mismo, excepto que una vuelta completa es $2\pi$ en lugar de $360$ y por lo tanto tenemos que trabajar el módulo $2\pi$ con radianes.

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Es decir, decir algo como trabajando con grados, simplemente estamos trabajando el módulo [sic] 360 es una forma inútil de explicar, porque evade la definición del ángulo completo (también conocido como 1 vuelta, o revolución) que es necesario para fundamentar por qué debemos operar modulo360 haciendo el cálculo en grados y modulo2 en radianes.

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@IncnisMrsi He intentado aclarar mi respuesta.

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Me retracto de mi downvote en agradecimiento a la limpieza, pero no creo que esto de la aritmética modular aborde la cuestión de la signatura lo suficiente.

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duncan Puntos 2298

El ángulo es una medida y no puede ser negativo, y se utiliza para definir un determinado punto del círculo trigonométrico. En el círculo trigonométrico, la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj se denota con el signo positivo y en sentido contrario a las agujas del reloj se denota con el signo negativo. por ejemplo, mover 60 grados en la dirección positiva es completamente idéntico a mover 300 grados en la dirección negativa, ya que ambos definen un punto. Tenga en cuenta que la elección de + o - es completamente arbitraria y no supone ninguna diferencia; lo que realmente importa es el valor absoluto del desplazamiento angular.

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Hay varias situaciones en las que 360°!=0, 540°!=180°, 450°!=90°, etc.

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@IncnisMrsi Cierto. Imagina un tornillo: desde arriba, parece igual sin importar si giras 360º o 720º. Pero la profundidad del tornillo es diferente.

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@IncnisMrsi Por supuesto. en esta simple respuesta me refiero simplemente a la posición angular, y a la definición de los ángulos negativos.

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