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¿Cómo demostrar que el producto de dos números irracionales puede ser irracional?

Mostrar que el producto de dos números irracionales puede ser irracional. Puedes usar cualquier dato que conozcas sobre los números reales.

Todo lo que sabemos es que $ \sqrt {2}$ es irracional y eso $ \sqrt {2} \cdot \sqrt {2} = 2$ pero esto es un racional producto de números irracionales.

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Inténtalo $\sqrt{2}(1+\sqrt{2})$

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Milo Brandt Puntos 23147

Bueno, si todo lo que sabes es que $\sqrt{2}$ es irracional, prueba el par de $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}+1$ - ambos son claramente irracionales, y su producto es $2+\sqrt{2}$ que también es claramente irracional. Entonces no tenemos que saber nada más que eso $\sqrt{2}$ es irracional y un irracional más un racional sigue siendo irracional.

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¿Qué pasa con $\sqrt{2}\times \sqrt{3}$ ?

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Este es un buen ejemplo. Probar que es irracional es similar a probar $\sqrt 2$ irracional, que OP entiende.

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Otra forma de abordar esto es demostrar que si $n$ es irracional, también lo es $\sqrt{n}$ . (Esto se deduce directamente de la definición de racionalidad.) Entonces es fácil ver que para los irracionales $n$ , $$\sqrt{n} \cdot \sqrt{n} = n$$ es un producto irracional de números irracionales.

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Creo que esta es la mejor respuesta: demuestra que todo número irracional positivo es el producto de dos números irracionales con una prueba muy, muy sencilla.

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bof Puntos 19273

Hay incontables puntos en la hipérbola $xy=\sqrt2$ pero sólo contablemente muchos con racionales $x$ -y sólo hay un número contable de personas que tienen una relación racional. $y$ -coordinación.

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@user2357112 tomar cualquier número real positivo $x$ . Entonces $(x, y) = (x, \frac{\sqrt{2}}{x})$ es un punto de la hipérbola como $x\frac{\sqrt{2}}{x} = \sqrt{2}$ . Dado que hay un número incontable de valores posibles de $x$ y cada uno lleva a un único punto, debe haber incontables puntos.

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-1 porque obviamente no puedes asumirlo. Si sabemos que los reales son incontables, también podemos usar el hecho de que la multiplicación por números no nulos (como la raíz 2) es inyectiva y por lo tanto no puede caer en los racionales todo el tiempo, ya que estoy seguro de que demostrar que son contables era más fácil que demostrar que los reales son incontables. ¡Voilà!

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Shabaz Puntos 403

$(\sqrt 2 + 1)^2=2+2\sqrt 2 +1=3+2\sqrt 2$ es irracional.

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