7 votos

El cálculo de $\pi$ a través de la $\zeta$ función?

Me estaba engañando a su alrededor, tratando de encontrar una manera rápida para calcular $\pi$. Entonces me acordé de que siempre tenemos: \begin{equation} \zeta(2n)=c\pi^{2n}, \end{equation} donde $n$ es un entero positivo y donde $c$ es algún número racional. Por lo tanto, pensé que una manera eficiente de la informática $\pi$ sería simplemente para invertir esta relación (denotando $s=2n$): \begin{equation} \pi=(\zeta(s)/c)^{1/s} \end{equation} Entonces pensé que para hacer esto aún más rápido, se podía encontrar a un poder $s$ tal que $c$ toma la forma $c=1/d$, $d$ un entero (ya que, numéricamente, la multiplicación es más rápido que la división). Entonces tendríamos: \begin{equation} \pi=(d\zeta(s))^{1/s} \end{equation} Creo que el más alto de la $s$ de la potencia es, cuanto más rápido se puede calcular el $\pi$ hasta cierta precisión (por suma de un número finito de términos de la zeta-función). Sin embargo, yo no era capaz de encontrar $s>10$ tal que $c=1/d$; el Uso de mathematica no podía encontrar un $c$$s=1000$. Esto me inspiró a pedir a la siguiente pregunta: ¿hay un $s>10$ tal que $c=1/d$$d\in\mathbb{N}$ ?

4voto

Will WM Puntos 302

Yo despotricar demasiado para publicar comentarios!

Permítanme comenzar diciendo que esto es equivalente a probar la existencia de $2n>10$, de $$\dfrac{\pi^{2n}}{\zeta(2n)}\in\mathbb{N}$$ Sabemos que, $B_n$ son los números de Bernoulli, $$\dfrac{\pi^{2n}}{\zeta(2n)}=\dfrac{(2n)!}{(-1)^{n+1}B_{2n}2^{2n-1}}$$ Tenga en cuenta que $\dfrac{\pi^{2n}}{\zeta(2n)}=\dfrac{B_n}{A_n}$ donde $A_n,B_n$ son las secuencias de $A002432$$A046988$, respectivamente, en OEIS.

Ahora, si escribimos $\xi_n=\dfrac{B_n}{A_n}$, vemos que podemos definir de manera inductiva, $$\xi_1=\dfrac{1}{6}\\ \xi_n=\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\frac{\xi_{n-i}}{(2i+1)!}+(-1)^{n+1}\frac{n}{(2n+1)!}\\ \implica \xi_n=\dfrac{\pi^{2n}}{\sum^\infty_{k=1}\dfrac{1}{k^{2n}}}$$ Usando mathematica, se obtiene que los valores de $\xi_n$. No estoy seguro de si para todos finito de valores de $n>5$, $\xi_n\in\mathbb{N}$. A partir de este MO post, se puede ver que $\zeta(2n)$ es un racional múltiples de $\pi^{2n}$, y para una prueba, consulte aquí.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: