7 votos

Cómo tomar la derivada de esta extraña alternativa a un diablo resbaladiza escalera?

Estoy tratando de construir una función de $f(x)$ que

  1. ha derivado = $0$ en casi todas partes, y
  2. es estrictamente creciente.

Me doy cuenta de que uno puede hacer esta jugando con el Cantor de la función, pero me gustaría hacerlo directamente. Sin embargo, estoy teniendo dificultad para ver si el bello monstruo tiene una derivada en todos!

Deje $(a_k)$ ser una secuencia de números, de tal manera que $\sum |a_k| < \infty$, e $a_k > 0$. Definir un orden en $q_k \in \mathbb{Q}$, lo que uno puede hacer, porque las $\mathbb{Q}$ es contable y totalmente ordenado.

Definir $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $$f(x) = \sum\limits_{\{k \text{ : } q_k < x\}} a_k$$

Vemos que $f_k$ es estrictamente creciente (por lo tanto es tanto el aumento y no constante en cualquier intervalo abierto), para $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$, y cualquier intervalo abierto en $\mathbb{R}$ contiene un elemento de $\mathbb{Q}$.

Yo creo que esta función tiene derivada cero en todos los $\mathbb{Q}$, los cuales son totalmente desconectado y contables, y un discontinuo de la unión de countably muchos puntos ha Lesbegue medida de 0.

El problema es que no sé cómo rigurosamente muestran que $|f'| = 0$.e., de hecho, no sé cómo comprobar que $f$ es diferenciable. No sé cómo, para ver que esto $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{ x - x_0}$$

tiene límite de $0$ $S \subset \mathbb{R}$ de manera tal que el Lesbegue medida de $\{ \mathbb{R} - S \}$$0$.

Aquí está mi pregunta: ¿Cómo debo tomar la derivada de esta función? Realiza esta función de satisfacer el criterio deseado?

2voto

user254665 Puntos 4075

Su construcción podría funcionar para algunas opciones de la enumeración $(q_k)$ $ Q$ y algunas opciones de $(a_k)$ pero si $a_k=1/k^2$ e si $q_{2k}\in (\pi, \pi+2^{-k})$ por cada $k$,$f(\pi+2^{-k})-f(\pi)\geq \sum_{j\geq k}1/(4j^2)= 1/(4k) + o(1/k)$$k\to \infty$, lo $f'(\pi)$ no existe.

2voto

David C. Ullrich Puntos 13276

Revisado:

Como se observa a continuación en la versión original, el hecho de que $f'$ existe en casi todas partes es inmediata a partir de resultados estándar, por ejemplo en Folland. Los resultados dependen de otros resultados ponerlo todo junto en una prueba requiere una fracción sustancial de los resultados en este capítulo. Aquí completamente auto-contenido ad hoc de la prueba.

Si $I$ es un intervalo dejamos $3I$ el valor del intervalo de con el mismo centro, pero tres veces la duración: Si $I=(a-r,a+r)$$3I=(a-3r,a+3r)$.

Lema 1 Supongamos que $K\subset\Bbb R$ es compacto y $C$ es una colección de abrir intervalos que cubren $K$. Entonces existen un número finito de pares discontinuo $I_1,\dots,I_n\in C$ tal que $3I_1,\dots,3I_n$ cubierta $K$.

Prueba: podemos suponer $C$ es finito. Deje $I_1$ ser un elemento de $C$ de la longitud máxima. "Descartar" a cualquier elemento de $C$ que se cruza con $I_1$. Tenga en cuenta que si $I$ fue descartada sólo ahora, a continuación,$I\subset 3I_1$, ya que el $I$ intersecta $I_1$ $I$ es de no más de $I_1$.

Ahora vamos a $I_2$ ser uno de los "restantes" intervalos en $C$ de la longitud máxima. Deseche cualquier resto de intervalo que se cruza con $I_2$. Tenga en cuenta que el intervalo que se descarta en esta etapa está contenida en $3I_2$. También tenga en cuenta que $I_1$ $I_2$ son distintos, ya que $I_2$ no ha sido desechadas en la primera etapa.

Etc. QED.

Ahora para $f:[0,1]\to\Bbb R$ definir $$Mf(x)=\sup_{y\ne x}\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|$$and $$\omega f(x)=\limsup_{y\to x}\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|.$$Note that $$0\le\omega f(x)\le Mf(x)$$and that $f'(x)=0$ if and only if $\omega f(x)=0$.

Lema 2 Si $f:[0,1]\to\Bbb R$ es no decreciente, a continuación, $$m\left(\{x\in[0,1]\,:\,Mf(x)>\lambda\}\right)\le \frac c\lambda(f(1)-f(0)).$$

Prueba: Desde $m$ es interior regular es suficiente para demostrar que $m(K)$ satisface la misma desigualdad, donde $K$ es un conjunto compacto con $Mf(x)>\lambda$ por cada $x\in K$.

Para cada una de las $x\in K$ existe $y\ne x$$|(f(x)-f(y))/(x-y)|>\lambda$. Deje $J_x=[x,y]$ o $J_x=[y,x]$, lo que hace sentido. Deje $I_x$ ser un intervalo abierto que contiene a$J_x$,$|I_x|\le 2|J_x|$.

Ahora el $I_x$ $x\in K$ forma una cubierta abierta de a $K$. Por lo tanto, la escritura $I_j$ en lugar de $I_{x_j}$, existe un número finito de disjuntas $I_1,\dots I_n$ tal que $3I_1,\dots,3I_n$ cubierta $K$.

Aargh, necesitamos más de notación, porque no sabíamos si $x<y$ o $y<x$ al inicio de este. Cada una de las $I_j$ es un intervalo abierto que contiene a $J_j$ donde $|I_j|\le 2|J_j|$. Escribir $J_j=[a_j,b_j]$. Ahora

$$m(K)\le\sum m(3I_j)\le 6\sum m(J_j)=6\sum_{j=1}^n(b_j-a_j).$$But $(f(b_j)-f(a_j)/(b_j-a_j)>\lambda$, so that $b_j-a_j\le(f(b_j)-f(a_j))/\lambda$. So we have $$m(K)\le\frac6\lambda\sum_{j=1}^n(f(b_j)-f(a_j)).$$But since $f$ is nondecreasing and the $[a_j,b_j]$ are disjoint, $$\sum(f(b_j)-f(a_j))\le f(1)-f(0).$$QED.

Nota de curso, tanto los lemas son análogos a los resultados en ese capítulo en Folland, adaptado al contexto actual.

Y ahora podemos demostrar que su $f$ $f'=0$ en casi todas partes. Escribir $f=\sum f_n$ en la forma obvia. Escribir $$f=s_N+r_N,$$where $$s_N=\sum_{n=1}^Nf_n.$$

Para cada $N$ ciertamente tenemos $s_N'=0$ en casi todas partes, por lo $\omega s_N=0$ en casi todas partes. Por lo tanto $$\omega f\le\omega s_N+\omega r_N=\omega r_N\le Mr_N$$almost everywhere. Let $\epsilon>0$. Choose $N$ so that $$\frac c\epsilon(r_N(1)-r_N(0))<\epsilon.$$Then the set where $Mr_N>\epsilon$ has measure less than $\epsilon$. So the previous inequality shows that the set where $\omega f>\epsilon$ has measure less than $\epsilon$. So $\omega f=0$ en casi todas partes. QED.


Original:

Sí, $f'=0$ en casi todas partes. (Asumiendo $a_k>0$$\sum a_k<\infty$.)

Esto no es algo trivial. No sé cuánto análisis real de saber; el hecho de que $f'=0$ en casi todas partes es inmediata a partir de básica/estándar resultados reales.

Véase, por ejemplo, la Proposición de 3.30 en Folland Análisis Real, así como de los resultados de esa sección. Su función $f$ es no decreciente, por lo que se ha acotado la variación. Hay detalles irrelevantes acerca de si o no $f$ radica en lo que Folland llamadas NBV, pero Teorema 3.23 muestra que esto no importa; $f$ no decreciente implica que $f=g$ en casi todas partes, donde $g$ es en NBV, y también a $f'=g'$ en casi todas partes. Ahora en la notación de la Proposición 3.30, su $\mu_f$ es un singular medida, se $\sum a_k\delta_{q_k}$ (donde $\delta_q$ es un punto de masa en $q$). Así 3.30 dice $f'=0$ en casi todas partes.

No es claro para mí lo difícil que es más elemental de la prueba (por ejemplo, una prueba accesible para alguien que está tomando el curso que se llama "Advanced Caclulus" aquí...)

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: