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La construcción de reales: Demostrar $i$ no es real

Así que tengo que probar, a partir de la definición de reales como secuencias de Cauchy de racionales, que $i$ no es un número real. La orientación dada es de suponer que $a\sim b$ son equivalentes Cauchy secuencias de racionales tales que $\displaystyle \lim_{k\rightarrow \infty} a_{k}b_{k} = -1$. Al parecer, yo voy a hacer esto por la contradicción.

Lo que he hecho hasta ahora es (en el esquema) supongamos que estas cosas, y vamos a $P=\max{\{M,N\}}$ por la mayor de las filas de las dos secuencias de tal manera que ambos están limitados por ningún arbitraria $\varepsilon>0$ todos los $p>P$. Para abreviatura deje $a_{p}=a, b_{p}=b$.

He hecho un montón de manipulación algebraica en $|ab+1|$ $|a-b|$ usando el hecho de que ambos son positivos y menos de $\varepsilon>0$. También he estado tratando de hacer esto con la restricción de que $\varepsilon <1$ ya que pensé que tal vez yo podría mostrar que mediante la combinación de ellos de la manera correcta en que podría conseguir algo más grande que 1. Pero hasta el momento no hay suerte.

El álgebra he probado:

$|ab+1|+|a-b|$

$|ab+1|^2 + |a-b|$

$2|a-b|^2 + |ab+1|$

Y muchas, muchas otras permutaciones de estos. Pero no he encontrado ninguna manera de meter una contradicción de cualquiera de ellos. Cualquier orientación?

Gracias!

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DanV Puntos 281

SUGERENCIA: Si $a_k\sim b_k$, sin pérdida de generalidad se puede suponer que la $a_k=b_k$. Por lo tanto, $a_kb_k$ ahora $(a_k)^2$. Utilice el hecho de que $x^2\geq 0$ para los números racionales (o demostrar que el hecho primero), y a la conclusión de que un límite de plazas no puede ser un número negativo.

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