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¿Cuál es la diferencia entre la función zeta y una L-función?

He estado aprendiendo acerca de Dedekind zeta y funciones básicos de L-funciones en mi introductorio de la teoría algebraica de números de clase, y me he estado preguntando por qué algunas funciones se llama L-funciones y a otros los llama zeta funciones. Sé que los zeta de la función es un producto de L-funciones, por lo que parece como un L-función de alguna manera es un componente de un zeta función (al menos en el caso de Artin L-funciones, que corresponden a representaciones específicas). Es esta la idea que subyace a la distinción entre "función zeta" y "L-función"? Cómo hacer las cosas de generalizar a otros tipos de zeta - y L-funciones?

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alanl Puntos492

Permítame decirle en primer lugar que un Dedekind zeta función es siempre un producto de Artin L-funciones. Se trata de la estructura de la Galois de cierre que es relevante aquí. Permítanme darles un buen ejemplo de lo que es indicativo de que el caso general. Deje que $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$ ser una irreductible cúbicos, y dejar que $\alpha$ ser una raíz de p$$. Entonces $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ ha trivial automorphism grupo, y sus Galois de cierre (digamos $L/\mathbb{Q}$) es un S3 de extensión. El grupo S3 tiene tres representaciones irreducibles: el trivial de la representación, el "signo de la representación" $\chi$, que es también una dimensión, y una irreductible representación en dos dimensiones que vamos a llamar $\rho$. A continuación, tenemos las relaciones $\zeta_K(s)=\zeta_{\mathbb{Q}}(s)L(s,\rho)$ y $\zeta_L(s)=\zeta_{\mathbb{Q}}(s)L(s,\chi)L(s,\rho)^2$. Las pruebas de estos hechos son parte de la formalismo de Artin L-funciones.

En general, la distinción es realmente una cuestión de historia. Algunos objetos fueron nombrados zeta funciones de Hasse-Weil, Dedekind - mientras Dirichlet eligió la letra "L" para las funciones que se hizo de los personajes. Sin embargo, una característica es que "zeta" funciones tienden a tener polos, y que a menudo "factor" en L-funciones. Estos caprichos son más precisos en varios lugares, por ejemplo Iwaniec-Ch Kowalski. 5 y algunos de la encuesta de artículos sobre la "Selberg clase" de Dirichlet de la serie.

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Bob Somers Puntos4186

Aunque nadie parece haber sugerido esta, mi opinión personal sobre este tema es que no hay ninguna diferencia en absoluto. Seguro que, si la gente empieza a hablar de "Dedekind zeta funciones" o "Artin $L$-funciones", a continuación, comienza a ser las relaciones entre estas decisiones específicas. Pero para mí, todos estos son casos especiales de automorphic $L$-funciones, que, en un universo paralelo, sólo podría haber fácilmente han sido llamados automorphic zeta-funciones. La historia nos dice que las variedades han zeta funciones de Dirichlet personajes tienen $L$-funciones, número de campos zeta funciones, curvas elípticas, $L$-funciones y así sucesivamente. Pero son sólo instancias de la misma cosa realmente (al menos conjecturally)---todos son solo simple (combinaciones de) automorphic $L$-funciones, que, como digo, que fácilmente podría haber sido llamado automorphic zeta-funciones.

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kzh Puntos1505

L-funciones dependen de caracteres (o representaciones), zeta funciones no (o corresponden a un carácter trivial). Por ejemplo, $L(s,\ji) = \sum_{n = 1}^{\infty}\chi(n)n^{s}$ donde $\chi$ es un carácter de Dirichlet. Suponiendo que $\chi_0$ es el carácter trivial modulo $q$, obtenemos $L(s,\chi_0) = \zeta(s)\prod_{p|q}(1 - p^{s})$, donde $\zeta(s)$ es la de Riemann zeta función.

Así que el Dirichlet L-funciones de generalizar la Riemann zeta función. El Dedekind zeta función también se generaliza en la misma forma, a la L-funciones con Hecke Grössencharacters.

(Se elimina una declaración falsa en la final; como David Hansen señala, uno puede obtener una factorización en Artin L-funciones de pertenencia para el cierre de Galois de la extensión), incluso cuando la extensión no es Galois por factorización de la Dedekind zeta función de la Galois de cierre y tomando algunos de los factores)

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Me gustan las otras respuestas, demasiado, pero parecía una tontería para añadir comentarios a todos... :

A mi percepción, en primer lugar, que tienden a no sentir una diferencia entre la "zeta función de adjunto a ..." y "L la función de adjunto a..." si tan sólo porque el uso es variable.

En segundo lugar, en muchos entornos (analítica/automorphic o geométrica/motivic o...) una función zeta es un L-función con relativamente trivial "más datos", lo que significa en el contexto. Así, Dedekind zeta funciones son Hecke L funciones con un trivial de datos, por ejemplo. De forma análoga a los regímenes de pensiones con o sin no trivial de la gavilla, en el otro mundo. Esta regla general no es, ciertamente, estricto... dependiendo de su uso.

En tercer lugar, hay sistemático, probada en parte, en parte conjetural, los milagros que "más grandes" zetas factor en "más pequeño" L-funciones. Classfield teoría y tal. Esto pone de relieve la ambigüedad en "uso", es decir, que algunos "base" es necesario entender "trivialidad", etc.

Edit: de nuevo significativamente contingente en "uso"... Si decimos que una "L-función" (o "función zeta") "tiene una continuación analítica (comprobable)", entonces esto significaría que accidentalmente no permitir Hasse-Weil zeta/L-funciones generales de las variedades/esquemas/lo que sea, porque en este año sabemos que "pocos" casos en donde podemos demostrarlo, aunque conjecturally es en su mayoría-siempre es así (lo que significa que los polos, si alguno, son finitos y descriptible). Del mismo modo, la factorización en Artin L-funciones de una manera completamente bien (por décadas), pero, en otro, la insuficiente ya que no sabemos su holomorphy, ... así podría decidir que no están todavía (en 2012) totalmente legítimo "L-funciones"? Y/o que la "factorización" de Dedekind zetas en tales cosas no es totalmente satisfactoria (como en un comentario). No me sorprendería que tales "tecnicismos" persiste en las cosas que menos sabemos. :)

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Will Sawin Puntos38407

Zeta funciones surgir a partir de los esquemas. $L$-funciones surgir a partir de los esquemas de + una gavilla en ese esquema.

Obviamente, la función zeta de un campo de número $K$ es la función zeta de $\operatorname{Spec} K$.

La $L$-función de una curva elíptica es la $L$-en función de su Tate módulo. Su función zeta es $\frac{\zeta(s)\zeta(s-1)}{L(s,E)}$, donde $\zeta(s)$ es la de Riemann zeta función.

La factorización de un zeta función en $L$-funciones es la factorización de la etale cohomology en irreducibles de representaciones de Galois. Los polos surgen de los factores que son Tate giros de trivial representaciones, en particular desde $H^0$ y $H^{2d}$.

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