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Un doble de la suma de $\sum \limits_{n=1}^{n=\infty}\left(\sum \limits_{k=n}^{k=n^2}\frac{1}{k^2}\right)$

Cómo evaluar a los $\displaystyle\sum_{n=1}^{n=\infty}\left(\sum_{k=n}^{k=n^2}\frac{1}{k^2}\right)$?

12voto

HS. Puntos 5414

La suma diverge. Para ver esto, límite inferior el interior de la suma por una suma telescópica por escrito $\frac{1}{k^2} > \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$. Ahora uso el hecho de que la serie armónica diverge.

10voto

DiGi Puntos 1925

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{n=\infty}\left(\sum_{k=n}^{k=n^2}\frac{1}{k^2}\right) &= \sum_{k=1}^\infty\;\sum_{n=\lceil\sqrt{k}\rceil}^k\frac1{k^2}\\ &=\sum_{k=1}^\infty\frac{k-\lceil\sqrt{k}\rceil+1}{k^2}\\ &\ge \sum_{k=1}^\infty\frac{k-\sqrt{k}}{k^2}\\ &=\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1k-\frac1{k^{3/2}}\right), \end{align*}$$

que diverge claramente.

7voto

Anthony Shaw Puntos 858

Contando las veces que un determinado $k$ aparece, obtenemos $$ \sum_{n=1}^{n=\infty}\left(\sum_{k=n}^{k=n^2}\frac{1}{k^2}\right)=\sum_{k=1}^\infty\frac{k-\left\lceil\sqrt{k}\;\right\rceil+1}{k^2}\ge\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2k} $$ que diverge desde que la serie armónica diverge y $\left\lceil\sqrt{k}\;\right\rceil-1\le k/2$.

6voto

Robert Christie Puntos 7323

Que diverge.

Por definición de la polygamma función el interior de la suma es de $\sum_{k=n}^{n^2} \frac{1}{k^2} = \psi^{(1)}(n) - \psi^{(1)}(n^2+1)$.

Para grandes $n$, su expansión asintótica es: $$ \psi^{(1)}(n) - \psi^{(1)}(n^2+1) \sim \frac{1}{n} - \frac{1}{2 n^2} + o\a la izquierda( n^{-2} \right) $$ Por lo tanto, $\sum_{n=1}^m \left( \psi^{(1)}(n) - \psi^{(1)}(n^2+1) \right) \sim \ln(m) + O(1)$ grandes $m$.

1voto

WerkkreW Puntos 4212

Debe tener en cuenta que la serie puede ser resumido Ramanujan la suma o valor principal de Cauchy de la función Zeta.

Dado el resultado obtenido por Brian M. Scott,

$$\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1k-\frac1{k^{3/2}}\right)$$

podemos ver que la segunda parte es de $-\zeta(3/2)$.

La primera parte es la serie armónica.

Harrmonic serie ha Ramanujan suma igual a la de Euler-Mascheroni constante $\gamma$, que es también el valor principal de Cauchy de $\zeta(x)$ en $x=1$:

$$\lim_{h\to0}\frac{\zeta(1-h)+\zeta(1+h)}2=\gamma$$

Como tal, podemos decir que la generalización de la suma de esta serie es divergente $\gamma\zeta(3/2)=-2.03516...$

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