10 votos

Media distancia de origen después de $N$ pasos igual de paseo aleatorio en un $d$-espacio dimensional.

Estoy buscando una fórmula que evalúa la distancia media de origen después de $N$ pasos igual de paseo aleatorio en un $d$-espacio dimensional. Dicha fórmula fue dada por «Henry» a una pregunta de "Diego" (q/103170)

$$\sqrt{\dfrac{2N}{d}} \dfrac{\Gamma(\frac{d+1}{2})}{\Gamma(\frac{d}{2})}$$

Estaré muy agradecido si me puede dar referencia a un artículo que muestra cómo esta fórmula fue derivada. ¡Gracias!

7voto

palehorse Puntos 8268

La fórmula no es exacta, pero asympotically. De manera informal: vamos a $z_i = x_i - y_i$ $i$- ésima coordenada después de $N$ pasos, con $x_i$ ($y_i$) ser el número de pasos en positivo (negativo) de la dirección. Al $N$ es grande, $\{x_i,y_i\}$ tienden a iid variables de Poisson, con $\lambda=E(x_i) = \frac{N}{2 d} = Var(x_i)$. La aplicación de la CLT, $z_i$ se aproxima a una distribución normal con cero de la media y la varianza $Var(x_i)+Var(y_i)=\frac{N}{d}$.

Estamos interesados en $E(\sqrt{z_1^2 + \cdots z_d^2})$. Pero la raíz cuadrada de una suma de $d$ normales $N(0,\sigma^2)$ sigue una distribución Chi, con una media de $\sqrt{2 \sigma^2} \dfrac{\Gamma(\frac{d+1}{2})}{\Gamma(\frac{d}{2})}$ a partir De este, se obtiene la fórmula deseada.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X