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Divisibilidad por 37 .

Que la suma de dos números de tres cifras sea divisible por 37. Demuestra que el número de seis cifras que se obtiene al concatenar las cifras de dichos números también es divisible por 37.

$\overline {abc}$ + $\overline {def}$ es divisible por 37. Demuestra que $$\overline{abcdef}$$ es divisible por 37.

$$\overline {abc} = 100a + 10b + c$$ $$\overline {def} = 100d + 10e + f$$ entonces tenemos $$\overline {abc}+ \overline {def} = 100a + 10b + c + 100d + 10e + f = 100(a+d) + 10(b+e) + c + f $$ Y estoy atascado aquí. ¿Puede alguien ayudarme?

2 votos

$999 \equiv 0 \mod 37$

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Si se enfrenta a un problema sobre $37$ de nuevo: La observación de que $3 \times 37 = 111$ suele ser relevante (como lo fue/es aquí).

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SchrodingersCat Puntos 8475

$$\overline{abcdef}=1000\cdot \overline {abc}+\overline {def}$$ $$=999\overline {abc}+\overline {abc}+\overline {def}$$ $$=(37\cdot 27 \cdot \overline {abc})+(\overline {abc}+\overline {def})$$

Espero que esto ayude.

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barak manos Puntos 17078

Dejemos que $x$ denotan $\overline{abc}$ .

Dejemos que $y$ denotan $\overline{def}$ .

Por lo tanto, $1000x+y=\overline{abcdef}$ .

Entonces $\color\red{x+y=37n}\implies1000x+y=999x+\color\red{x+y}=999x+\color\red{37n}=37(27x+n)$ .

1voto

Tenga en cuenta, ya que $\overline {abc}+\overline{def}$ es divisible por $37$ por lo tanto, $$(100a+10b+c)+(100d+10e+f)=37\lambda $$ o $$100d+10e+f=37\lambda-(100a+10b+c)\tag 1$$ donde, $\lambda$ es un número entero

Ahora, uno debería tener el número concatenado como $$\color{blue}{\overline{abcdef}}=100000a+10000b+1000c+100d+10e+f$$ $$=1000(100a+10b+c)+100d+10e+f$$ valor de ajuste de (1), $$=1000(100a+10b+c)+37\lambda-(100a+10b+c)$$ $$=999(100a+10b+c)+37\lambda$$ $$=37(2700a+270b+27c+\lambda)$$ desde, $(2700a+270b+27c+\lambda)$ es un número entero, $37(2700a+270b+27c+\lambda)$ es divisible por $37$ es decir $\color{red}{\overline{abcdef}}$ es divisible por $\color{red}{37}$

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tugberk Puntos 221

Desde $37 \mid 111$ entonces $37 \mid 999$ . Por lo tanto, para números realmente grandes, primero hay que expulsar $999s$ hasta que consigas un $3$ o un número de menos dígitos. A continuación, comprueba si ese número es divisible por $37$ .

Ejemplo: $N = 285566$ .

$285566 \to 285 + 566 = 851 \to |851 - 888| = 37$

Por lo tanto, $37 \mid 285566$

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