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Demuestra que la tangente de 75 grados es igual a 2 más la raíz cuadrada de 3

Mi pregunta (muy sencilla) a un amigo era cómo puedo demostrar lo siguiente utilizando los principios básicos de la trigonometría:

$\tan75^\circ = 2 + \sqrt{3}$

Dio esta prueba (¡a través de un mensaje de texto!)

$1. \tan75^\circ$

$2. = \tan(60^\circ + (30/2)^\circ)$

$3. = (\tan60^\circ + \tan(30/2)^\circ) / (1 - \tan60^\circ \tan(30/2)^\circ) $

$4. \tan (30/2)^\circ = \dfrac{(1 - \cos30^\circ)}{ \sin30^\circ}$

¿Se puede explicar esto más sucintamente, ya que soy nuevo en la trigonometría y estoy un poco perdido después de (2.)?


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Con las respuestas dadas ya casi lo tengo:

  1. $\tan75^\circ$
  2. $\tan(45^\circ + 30^\circ)$
  3. $\sin(45^\circ + 30^\circ) / \cos(45^\circ + 30^\circ)$
  4. $(\sin30^\circ.\cos45^\circ + \sin45^\circ.\cos30^\circ) / (\cos30^\circ.\cos45^\circ - \sin45^\circ.\sin30^\circ)$
  5. $\dfrac{(1/2\sqrt{2}) + (3/2\sqrt{2})}{(3/2\sqrt{2}) - (1/2\sqrt{2})}$
  6. $\dfrac{(1 + \sqrt{3})}{(\sqrt{3}) - 1}$
  7. multiplicar todo por $(\sqrt{3}) + 1)$

Otro enfoque alternativo:

  1. $\tan75^\circ$
  2. $\tan(45^\circ + 30^\circ)$
  3. $\dfrac{\tan45^\circ + \tan30^\circ}{1-\tan45^\circ.\tan30^\circ}$
  4. $\dfrac{1 + 1/\sqrt{3}}{1-1/\sqrt{3}}$
  5. en el punto 6 de la alternativa anterior

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oefe Puntos 9122

La fórmula que quieres ver es: $\tan(x+y)=\frac{\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)}$ para cualquier grado $x$ y $y$ .

Por otro lado, demostrando esta igualdad tangencial a partir de las fórmulas $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x)$ y $\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$ será un buen ejercicio para un principiante.

5voto

Shane Fulmer Puntos 4254

Puede utilizar más bien $\tan (75)=\tan(45+30)$ y se introduce en la fórmula de Metin. La causa: Su $15^\circ$ no es tan trivial.

4voto

Dilip Sarwate Puntos 14967

Una prueba sin palabras (pero que utiliza algo de geometría). ¿Está bien?

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