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¿Cómo factorizar esta ecuación cúbica?

En uno de los libros de matemáticas, el autor factorizó el siguiente término

$$x^3 - 6x + 4 = 0$$ a

$$( x - 2) ( x^2 + 2x -2 ) = 0.$$

¿Cómo lo hizo?

6voto

Simple Art Puntos 745

Hay un truco muy bueno llamado teorema de las raíces racionales . Todo lo que tenemos que hacer es factorizar el primer y el último número, ponerlos sobre una fracción, y tomar $\pm$ . Esto nos da las siguientes raíces racionales posibles:

$$x\stackrel?=\pm1,\pm2,\pm4$$

debido a la factorización de $4$ . Comprobando esto, está claro que $x=2$ es la única raíz racional, ya que

$$\begin{align}0&\ne(+1)^3-6(+1)+4\\0&\ne(-1)^3-6(-1)+4\\\color{#4488dd}0&=\color{#4488dd}{(+2)^3-6(+2)+4}\\0&\ne(-2)^3-6(-2)+4\\0&\ne(+4)^3-6(+4)+4\\0&\ne(-4)^3-6(-4)+4\end{align}$$

dejándonos con

$$x^3-6x+4=(x-2)(\dots)$$

Podemos encontrar el resto mediante la división sintética:

$$\begin{array}{c|c c}2&1&0&-6&4\\&\downarrow&2&4&-4\\&\hline1&2&-2&0\end{array}$$

lo que nos da nuestra factorización:

$$x^3-6x+4=(x-2)(x^2+2x-2)$$

4voto

David HAust Puntos 2696

Dado que no conoce el Prueba de la raíz racional, Consideremos un caso más sencillo: la prueba de la raíz entera.

Si $\,f(x)= x^3+6x+4\,$ tiene una raíz entera $\,x=n\,$ entonces $\,n^3+6n+4 = 0\,$ así que $\,(n^2+6)\,\color{#c00}{n = -4},\,$ por lo que $\,\color{#c00}{n\ \ {\rm divides}\ \ 4}.\,$ Probar todos los divisores de $4$ muestra que $2$ es la raíz, $ $ por lo que $\,x-2\,$ es un factor de $f$ por el Teorema del factor . El cofactor $\,f/(x-2)\,$ es computable por el Algoritmo de división polinómica (larga) (o incluso por coeficientes indeterminados).

Nota: $\ $ Este es un caso muy especial de las relaciones generales entre la factorización de polinomios y las factorizaciones de sus valores. Por ejemplo, se pueden derivar relaciones entre la primalidad y la compositividad de los polinomios a partir de las mismas propiedades de sus valores. Por ejemplo, dado que $\ 9^4\!+8\ $ es primo también lo es $\, x^4+8\,$ por La prueba de irreductibilidad de Cohn. Ver esta respuesta y sus enlaces para algunas de estas hermosas ideas de Bernoulli, Kronecker y Schubert.

1voto

Frank Puntos 41

Nota: Entiendo que ya hay una respuesta aceptada para esta pregunta, por lo que esta respuesta puede ser inútil, pero a pesar de ello, ¡publicaré esto para difundir el conocimiento!

Una forma sencilla de factorizar polinomios cúbicos deprimidos de la forma $$x^3+Ax+B=0\tag1$$

Es mover primero todas las constantes al lado derecho, así que $(1)$ se convierte en $$x^3+Ax=-B\tag2$$ Ahora, encuentre dos factores de $B$ tal que un hecho menos el cuadrado del otro factor es $A$ . Los llamaremos $a,b$ así que $$\begin{align*} & a-b^2=A\tag3\\ & ab=-B\tag4\end{align*}$$ Multiplicar $(2)$ por $x$ , añada $b^2x^2$ a ambos lados y completar el cuadrado. La resolución debería dar un valor de $x$ y le permiten factorizar $(1)$ por la División Sintética.


Ejemplos:


  1. Resolver $x^3-6x+4=0$ (su pregunta)

Mover $4$ a la RHS y observando sus factores, tenemos $-2,2$ como $a,b$ desde $$-2-2^2=A\\-2\cdot2=-4$$ Por lo tanto, tenemos lo siguiente: $$x^4-6x^2=-2\cdot2x$$$$ x^4-6x^2+4x^2=4x^2-4x $$$$x^4-2x^2=4x^2-4x$$$$ x^4-2x^2+1=4x^2-4x+1 \implies (x^2-1)^2=(2x-1)^2 $$$$x^2=2x\implies x=2$$ Hay que tener en cuenta que sí hay que considerar el caso negativo cuando se hace la raíz cuadrada, pero conducen al mismo par de respuestas. Así que no tiene sentido.

  1. Resolver $x^3+16x=455$

Un factor de $455$ funciona, es decir, cuando $a=65,b=7$ . $$65-7^2=16$$$$ 65 \cdot7 =455 $$ Therefore,$$ x^4+16x^2=65 \cdot7x$$$$x^4+65x^2=49x^2+455x$$$$\left (x^2+ \dfrac {65}{2} \right )^2= \left (7x+ \dfrac {65}{2} \right )^2 $$$$x=7$$

0voto

Michael Hardy Puntos 128804

El teorema de la raíz racional da una lista de todas las posibles raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros que tienen un coeficiente principal dado y un coeficiente constante dado. En este caso, el coeficiente principal es $1$ y el coeficiente constante es $4.$ El teorema nos dice que todas las raíces racionales están en el conjunto $\left\{ \pm\dfrac 1 1, \pm\dfrac 2 1, \pm \dfrac 4 1 \right\},$ siendo el numerador el único divisor del coeficiente principal $1$ y los denominadores son los divisores del coeficiente constante $4$ . Eso no significa que haya raíces racionales; sólo significa que no hay ninguna que no pertenezca a este conjunto. Sólo hay seis miembros de este conjunto, así que es fácil introducirlos todos y ver si se obtiene $0$ . Cuando se conecta $2$ , se obtiene $0$ así que ahí tienes tu factorización.

-1voto

Adren Puntos 416

Si $P$ es un polinomio con coeficientes reales y si $a\in\mathbb{R}$ es una raíz, lo que significa que $P(a)=0$ entonces existe un polinomio real $Q$ tal que $\forall x\in\mathbb{R},\quad P(x)=(x-a)\,Q(x)$ .

En este caso, se puede ver por la inspección, que $P(2)=0$ .

Queda por encontrar las constantes reales $A,B,C$ tal que :

$$\forall x\in\mathbb{R},\quad x^3-6x+4=(x-2)(Ax^2+Bx+C)$$

La identificación de los coeficientes conduce a $A=1$ , $-2C=4$ y, por ejemplo, $A-2B=0$ (equiparando los coeficientes de $x^2$ en ambos lados).

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