567 votos

Es el valor de $\pi = 4$?

¿Qué hay de malo con esto?

Is \pi=4?

FUENTE

182voto

ABC Puntos 3558

R. I. P. Arquímedes

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Un fotogénico respuesta a esa pregunta!

98voto

Bryan Roth Puntos 3592

La concisa expresión de esta "paradoja" es la siguiente: vamos a $x_n(t)$ be a sequence of parameterized curves which converges uniformly to a limit curve $x(t)$. Then it need not be the case that the arclengths of $x_n(t)$ approach the arclength of $x(t)$.

[Añadido después de ver TCL respuesta: también es cierto que la convergencia uniforme de una sucesión de funciones no implica la convergencia de sus derivados. Consulte la Sección 3 aquí alguna discusión de este. Como TCL señala, desde arclength elementos se calculan a través de derivados, la observación sobre los instrumentos derivados pueden ser, en cierto sentido más fundamental. En otras palabras, creo que me gusta TCL respuesta mejor que la mía.]

Como Ross Millikan señala, esto es más familiarmente se muestra mediante la aproximación de la hipotenusa de un triángulo por una escalera de patrón de líneas horizontales y verticales de los segmentos. Aún recuerdo que estaba en el último año de la escuela secundaria y tener un amigo (a quien yo había tenido antes de las matemáticas interacciones con) mostrar esto a mí. Definitivamente estoy de acuerdo que pensaba que no era paradójico, pero sin duda sorprendente. (Y he matemáticamente respetado esta persona desde que, a pesar de que yo no le he visto desde que era un adolescente.)

Añadido posterior: si pensamos en el fenómeno de la física en lugar de geométricamente, a mí me parece que la sorpresa desaparece. Por ejemplo, supongamos que estoy ejecutando y la conducción de una motocicleta. Es posible que su velocidad en cada instante para ser 25 veces (dicen) más rápido que el mío, manteniendo una muy pequeña distancia de mí, por ejemplo haciendo muy pequeño, muy rápido en círculos alrededor de mí.

61voto

CallMeLaNN Puntos 111

Hilarante! Por supuesto, la circunferencia es no aproximar por la suma de las longitudes de las líneas construidas como se muestra, sino por la suma de las hipotenusas de cada uno de los ángulo recto de triángulos que se forman alrededor del borde del círculo (que forman un polígono con vértices en el círculo).

18voto

Shabaz Puntos 403

Esta pregunta suele ser planteado como la longitud de la diagonal de una unidad cuadrada. Usted comienza a ir de una esquina a la opuesta siguiendo el perímetro y observar la longitud es 2, luego tomar más corto y más corto de la escalera-pasos y la longitud es de 2, pero su camino se acerca a la diagonal. Por lo $\sqrt{2}=2$ En ambos casos, se están acercando a la zona, pero no la longitud de la trayectoria. Usted puede hacer esto más riguroso por la ruptura en incrementos, y tras la prueba de la suma de Riemann. La diferencia de área entre las dos curvas va muy bien a cero, pero la diferencia en la longitud del arco se mantiene constante.

Edit: por lo que la plaza más explícito. Imagínese dividir la diagonal en n segmentos y un stairstep aproximación. Cada triángulo es $(\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{\sqrt{2}}{n})$. So the area between the stairsteps and the diagonal is $n \frac{1}{n^2}$ which converges to 0. The path length is $n \frac{2}{n}$, que converge incluso más bien a los 2.

2voto

Jake Basile Puntos 653

Este problema ilustra el hecho de que dos funciones pueden estar muy cerca de: $|f(x)-g(x)|<\epsilon$ para todos los $x\in [0,1]$, but their derivatives can still be far apart, $|f'(x)-g'(x)|>c$ para algunos constante $c>0$. En nuestro caso, vamos a $x=a(t),y=b(t),0\le t\le 1$ and $x=c(t),y=d(t), 0\le t\le 1$ ser el el proceso de parametrización de las dos curvas. Al suavizar las esquinas, podemos asumir que ambos son suaves. $$ \|(a(t),b(t))\|\approx \|(c(t),d(t))\|$$ no implica $$ \|(a'(t),b'(t))\|\approx \|(c'(t),d'(t))\|$$ Por lo tanto, $\int_0^1 \|(a'(t),b'(t))\| dt$ need not be close to $\int_0^1 \|(c'(t),d'(t))\| dt.$ Aquí $\|(x,y)\|$ denotes $\sqrt{x^2+y^2}$.

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