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Diferencia matemática entre el blanco y el negro notas en un piano

La división de la escala cromática en $ natural notes (white keys in a piano) and $ accidental (negro) parece un poco arbitrario para mí.

Al parecer, junto a notas en un piano (incluyendo blanco o negro) siempre están separadas por un semitono. ¿Por qué la distinción, entonces? ¿Por qué no tienen escamas con $ notas? (al parecer, hay una escala musical llamado Swara que hace eso)

He preguntado a varios amigos músicos, pero carecen de la preparación de matemáticas para darme una respuesta válida. "Las notas son así porque son así".

Necesito algunos matemático con conocimientos musicales (o un músico con conocimientos matemáticos) para que me ayude con esto.

Matemáticamente, ¿hay alguna diferencia entre el blanco y el negro notas, o hacemos la distinción sólo por razones históricas?

107voto

Anon Puntos 81

La primera respuesta es muy bueno, así que voy a tratar de abordar la cuestión desde otro ángulo.

En primer lugar, hay varias escalas diferentes, y diferentes culturas utilizan diferentes. Depende de la matemáticas de los instrumentos así como sobre los factores culturales. Nuestra escala tiene una muy larga historia que se remonta a los antiguos Griegos y Pitágoras en particular. Se dieron cuenta (audiencia) que los instrumentos de cuerda, podría producir diferentes notas mediante el ajuste de la longitud de la cadena, y que algunas combinaciones sonaba mejor.

Los Griegos tenían un gran interés en mathemathics, y que parecía "justo" para los mismos la búsqueda para "perfecto" combinaciones perfectas en el sentido de que debe ser expresada en términos de las fracciones de los pequeños números enteros. Se dieron cuenta de que si el doble o la mitad de la longitud de la cadena, se obtiene la misma nota (el concepto de una octava); otras fracciones, como /3$, /4$, también se producen "armónico" combinaciones. Esa es también la razón por la que algunas combinaciones de sonido mejor, ya que esto puede ser explicado por la física. Cuando se combinan varias ondas sinusoidales, escuchar varias notas diferentes que son el resultado de la interferencia entre las ondas. Algunas combinaciones de sonido mejor, mientras que otros producen lo que llamamos "disonancia".

Así que, en teoría, usted puede comenzar a partir de una frecuencia arbitraria (o nota) y construir una escala de "armónico", señala el uso de estos coeficientes (estoy usando comillas porque el término armónico tiene un significado muy específico en la música, y estoy hablando en términos amplios e imprecisos términos). Las escalas mayores y menores de la música Occidental puede ser aproximadamente derivados de este régimen. Ambas escalas (mayores y menores) ha $ notas. Las teclas blancas del piano corresponden a la escala mayor, a partir de la nota do.

Ahora, si usted consigue el C nota y usar el "perfecto" fracciones, usted conseguirá el "verdadero" escala de do mayor. Y ahí es donde empieza la diversión.

Si usted toma cualquier nota de la escala de do mayor, usted puede tratar como el comienzo de otra escala. Por ejemplo, el quinto de C (G), y construir una nueva escala mayor, ahora a partir de G en lugar de C. obtendrá otro de siete notas. Algunos de ellos también están en la escala de C; los demás están muy cerca, pero no exactamente iguales, y algunos caen en el medio de las notas en la escala de C.

Si usted repite este ejercicio con todas las notas, usted va a terminar la construcción de $ diferentes escalas. El problema es que el intervalo no es regular, y hay algunas imprecisiones. Usted necesita para volver a sintonizar el instrumento si usted quiere tener la perfecta escala.

El concepto de "cromática" de la escala (con $ notas, igualmente espaciados) se inventó para resolver este "problema". La escala cromática es un matemático de aproximación, que es lo suficientemente cerca para que la MAYORÍA de la gente (pero no todos). Las personas con "perfecto" en el oído puede escuchar las imperfecciones. En la escala cromática, las notas están espaciados de manera uniforme utilizando la duodécima raíz de dos. Es una progresión geométrica, que coincide con una buena precisión todas las posibles escalas mayores y menores. La invención de la escala cromática permite a los jugadores para reproducir música en escalas arbitrarias sin volver a afinar el instrumento sólo es necesario ajustar la escala de "compensar" un número fijo de posiciones, o semitonos, desde la base de la escala original.

Todos en todos, que sólo convención, y un poco de suerte. Las teclas blancas son un "accidente histórico", las llaves de la escala mayor de C. Los otros son necesarios para permitir la transposición. También tener en cuenta que (1) las teclas deben tener un ancho mínimo para permitir que un solo dedo, y (2) si usted no tiene las teclas negras, la octava sería demasiado amplia para ser "normal" manos a la obra. Por lo que el esquema con un par intermedio de las llaves que se necesita de todos modos, y la escala cromática que utilizamos es al menos tan bueno (o mejor) como cualquier otra escala.

65voto

anm Puntos 121

Las respuestas dadas son bastante buenos, de los musicales, matemática, y socialogical / razón histórica. Pero ellos pierda la razón fundamental por la que no se $ notes in a western scale (or $ notes in an eastern pentatonic, etc.), and why it's those particular $ notes (or $).

Qiaochu casi en el clavo al señalar que nosotros, como las notas, que son simples entero de las proporciones. Pero, ¿por qué? La razón fundamental se deriva de la física de los comunes de los primeros instrumentos -- flautas (incluyendo la voz humana) y cuerdas punteadas, y de la física del tímpano en el oído.

Como Qiaochu señaló, el sonido no está compuesta de una sola onda sinusoidal de frecuencia, sino más bien una suma de muchas ondas sinusoidales. La "nota" que escuchamos es la frecuencia de la primaria (el más alto) de la onda proveniente de estos instrumentos. Pero las frecuencias que existen en la onda, aunque en gran parte enmascarada por la primaria. Estos son conocidos informalmente como armónicos o sobretonos.

Los primeros armónicos de flautas y cuerdas punteadas son similares y muy sencillo: Si el principal está normalizado a frecuencia $, then the second loudest harmonic is typically /2$ (an octave above), the third is usually /3$ (an octave and a fifth above), the fourth is usually /4$ (two octaves), the fifth is usually /5$ (two octaves and a major third), and the sixth is usually /6$ (dos octavas y una quinta). Si la principal nota es C1, estos traducir aproximadamente en C2, G3, C4, E4, y G4. Si los armónicos continuó de esta manera-y no siempre-varios otras notas que aparecen.

Esto es importante, porque si quieres jugar DOS instrumentos juntos, que te gustaría que sus armónicos, coincidiendo incluso si están jugando las diferentes notas. De lo contrario, el exceso de armónicos suena mal al oído. En el peor de los casos, muy de cerca, pero no del todo la superposición de armónicos crear "beats" -- aparente alternancia de fuerte y suave periodos de tiempo, que son irritantes para escuchar y difícil en el oído.

Para obtener los armónicos de coincidir en varios instrumentos o incluso notas sucesivas, usted tiene que recoger las notas para que puedan jugar donde sus armónicos tienen una fuerte superposición. Por ejemplo, esta es también la razón por la importante cuarta es útil a pesar de que no suelen aparecer de forma temprana. Es porque si un instrumento está jugando C, si el otro instrumento es jugar major cuarto pero inferior por una octava, ellos se superponen muy bien.

Creo que esta nota selecciones (garantizando armónicos en armonía, por así decirlo) influido en la evolución de la escala de opciones, especialmente la pentatónica, es decir, las notas negras), y la división de la octava en $ piezas.

Uno de los primeros instrumentos que está totalmente fuera de control de esta, es la campana. Campanas y gongs se puede ajustar para tener una variedad de armónicos, pero los más comunes -- de fundición de campanas, tienen un muy fuerte, inusual tercer armónico: tercera menor o bemol. Es tan fuerte y contradictorio que suene terrible, incluso inquietante, cuando juega con las cuerdas, flautas, voces, etc. De hecho, toda la musica tiene que ser escrito especialmente para carillones (gran multibell instrumentos) con el fin de garantizar la correcta superposición de armónicos. Generalmente esto significa que toda la pieza tiene que ser escrito totalmente en la disminución de los acordes. Los acordes mayores de sonido entre los peor a causa del choque entre la tercera mayor del acorde y la tercera menor proveniente de la raíz del fuerte tercer armónico.

46voto

David Precious Puntos 4429

Las matemáticas de las relaciones de frecuencia aquí es el sonido (juego de palabras), pero que no ayudan a explicar el blanco vs negro, tecla de piano de diseño.

Aquí está el histórico imperativa que llevó a este diseño de "la Música Occidental".

Considerar en primer lugar la gran tríada: raíz + tercer + quinta parte de las notas de la "escala diatónica". Que siga la serie armónica: 1 - raíz 2 octavas (duplicación de la frecuencia raíz) 3 - quinta parte (el triple de la raíz - 3:2 relación de la octava) 4 - doble octava (4x) 5 - 10 (doble octava de un tercero) 6 de octava, quinta

Estas son las notas de la estática de la longitud de la tubería puede producir por soplado en él: el clarín.

Las combinaciones de estas notas crear frecuencias que hacen los coros de sonido cielo-ly. Las frecuencias alinear y fusionar en pura complejo vibraations que son la suma y las diferencias (armónicos) de estas relaciones.

Los coros pueden sintonizar a sí mismos de forma dinámica para crear frecuencia de alineaciones que son percibidas como ser perfectamente consonante. Optimista de la música occidental se centran en los 3 principales los acordes se encuentran en la escala diatónica: 1+3+5 raíz del acorde mayor - teclas blancas C - E - G 4+6+1 4 de acordes - teclas blancas F - a - C 5+7+2 la 5ª del acorde - whote teclas G - B - D

Los fundamentos de la música tradicional occidental son los 1 - 4 - 5 las secuencias de acordes. Aprender C, F y G en una guitarra y se puede jugar a la mayor parte de los clásicos del País libro de canciones.

Poner las notas de estos acordes en una escala y se puede conseguir que la fila de 7 teclas blancas: C - D - E - F - G - a - B (repita hasta que usted no puede oír).

Así, ellos escala occidental se basa en la frecuencia de las relaciones que hacer combinaciones de las notas "anillo" en consonancia en su forma más pura... como los Cantos Gregorianos de la Iglesia Romana.

Así, un básico occidental "teclado" podría ser de tan sólo estos 7 notas repetidas en el espectro de frecuencia. Mira el diseño de un griego de la Lira (arpa) y eso es lo que va a encontrar. Una secuencia siguiente de la escala diatónica que suena agradable si usted acaba de tocar a través de las cadenas debido a la optimización de los múltiplos (ajustado por octavas).

OK... ahora la adición de the black keys es un compromiso de la afinación de las notas específicas, de modo que usted puede construir estos 1+3+5 los acordes de cualquier punto de partida y por lo tanto reproducir una canción ajustar hacia arriba o hacia abajo para cualquier punto de partida. El piano nunca va a lograr que el sonic matemático visión de la "música de las esferas" que el auto-ajuste de coro puede hacer un acorde matemáticamente perfecta en la alineación, pero es el "teclado" para el compositor moderno... la efectiva "musical" qwerty que un compositor o un pianista comienza a visualizar acorde de las "formas" como posiciones de la mano.

Con mucha práctica, un pianista puede pre-visualizar el sonido en términos de dedo y los movimientos de la mano como un sólido mecanógrafo comienza a definir palabras y frases como una secuencia de movimientos.

La adición de the black keys fue llamado un "Bien Temperado" de sintonía y Bach fue uno de los primeros compositores para crear cuerpos enteros de composiciones que trabajaron a través de la clave Mayor y Menor de las 12 escalas que se notó al principio a la hora de inspeccionar el teclado.

Si usted mira en otras culturas musicales usted encontrará diferentes enfoques para la normalización de unas relaciones que no se centran en el 1 - 4 - 5 los acordes. Esta música a un culturalmente formados occidental oído es menos predicatable en la naturaleza y que falta de predictablility puede hacer que la música frustrante o emocionante... la música "habla" para nosotros en términos de pura entradas sensoriales que se puede mover, excitar, aburrir o confundir a nosotros.

Así, el teclado del piano está diseñado para ser el perfecto sistema de entrega de un individuo para producir la gama de complejidad que la música occidental ha logrado.

El teclado moderno sintetizadores son ahora capaces de producir toda la gama de la orquesta occidental en términos de "instrumentos" y estoy esperando que alguien cree que la micro-ajusta notas basadas en el contexto que lo rodea... cambio de una nota hacia arriba o hacia abajo ligeramente desde el "bien temperado" de compromiso a la cancha que hace un acorde de "el anillo" y producir la parte superior de armónicos que hacen una gran orquesta verdaderamente "celestial".

Tal vez es que ya se ha hecho.

14voto

Powerman Puntos 335

Las matemáticas en este hilo es impresionante, pero no estoy seguro de que las direcciones de la pregunta original sobre la "diferencia entre blancos y negros y notas".

Las otras respuestas en este hilo proporcionar suficiente de matemáticas para entender que cada octava puede ser más o menos naturalmente dividido en doce semitonos. La tradición musical Occidental más evolucionado se basa en lo que se llama la "escala diatónica".

Una escala musical es una secuencia de tonos dentro de una octava; las escalas pueden ser definidos por el número de semitonos entre cada una de las sucesivas nota.

Por ejemplo, la Escala de Tonos Enteros consiste enteramente de toda tonos; tiene seis diferentes tonos, cada uno de los cuales es de dos semitonos más alto que el anterior. Así que usted podría representar la cadena '222222" - es decir, tomar una nota, a continuación, la nota 2 semitonos superior, a continuación, la nota 2 semitonos más alto, etc., hasta el último "2" que lleva a la nota una octava por encima de donde empezó.

La Escala Diatónica que la música Occidental se basa en que podía ser representado por la cadena '2212221'.

Si usted comienza con una C en un teclado y subir, verás que las teclas blancas se ajustan a ese patrón de semitonos. Que, en general, es por eso que las teclas negras son de ese patrón en particular.

Por supuesto, usted puede iniciar una escala en cualquier campo, no sólo C. es por eso Que el "mismo" escala diatónica en una clave distinta implicará un conjunto único de los sostenidos y bemoles.

Ahora, la Escala Diatónica también puede ser representado por '2212221' desplazado a la izquierda o a la derecha de cualquier número de veces. Por ejemplo, '2122212', '1222122', etc. también Diatónica; estos son los llamados "modos" de la escala Diatónica. Cada Diatónica modo puede ser jugado sólo las teclas blancas del piano por comenzar en un tono diferente.

2212221 se llama el modo Jónico (esto también es denominada genéricamente como la escala Mayor), y se pueden reproducir en las teclas blancas de partida con C.

2122212 es el retrato de Dorian modo y puede ser jugado en las teclas blancas de partida con D.

1222122 es el modo Frigio, a partir E.

2221221 es el modo Lidio, a partir F.

2212212 es el Mixolydian modo, a partir de G.

2122122 es el Eolias mode (modo de la escala Menor), a partir de A.

1221222 es la (impresionante) Locrio modo, a partir de B.

Cada modo tiene su propio y único "sonido", que (en mi opinión, al menos) se deriva precisamente de la diferente colocación de los semitonos dentro de cada escala.

Y por supuesto, hay scrillions de la no-escalas Diatónicas que no tienen nada que ver con cómo el teclado moderno llegó a ser.

EDITAR para agregar una más corta, menos implícita la respuesta: Las teclas blancas que solo puede ser usado para reproducir el conjunto de escalas diatónicas mencionadas; las teclas negras son "diferentes", ya que son el resto de los cromática de tonos no se utiliza en el conjunto de escalas diatónicas.

2voto

Matt Dawdy Puntos 5479

La primera cosa que tienes que entender es que las notas no están definidas de forma exclusiva. Todo depende de cuál es la sintonía de utilizar. Voy a suponer que estamos hablando de temperamento igual aquí. En temperamento igual, un medio paso es el mismo como una relación de frecuencia de $\sqrt[12]{2}$; de esa manera, a las doce de la mitad-pasos de una octava. Por qué doce?

Al final del día, ¿qué esperamos de nuestros frecuencias musicales son agradables proporciones de los pequeños lintegers. Por ejemplo, un perfecto quinto se supone que corresponden a una relación de frecuencia de : 2$, or .5 : 1$, but in equal temperament it doesn't; instead, it corresponds to a ratio of ^{ \frac{7}{12} } : 1 \approx 1.498 : 1$. Como se puede ver, este no es un quinto; sin embargo, está muy cerca.

Del mismo modo, un perfecto cuarta se supone que corresponden a una relación de frecuencia de : 3$, or .333... : 1$, but in equal temperament it corresponds to a ratio of ^{ \frac{5}{12} } : 1 \approx 1.335 : 1$. De nuevo, esto no es un perfecto cuarto, pero está bastante cerca.

Y así sucesivamente. Lo que está pasando aquí es sumamente conveniente matemática coincidencia: varios de los poderes de la $\sqrt[12]{2}$ pasan a ser buenas aproximaciones a los cocientes de enteros pequeños, y hay bastantes de estos para reproducir la música Occidental.

Aquí es cómo esta coincidencia obras. Consigue las teclas blancas de $C$ using (part of) the circle of fifths. Start with $C$ and go up a fifth to get $G$, then $D$, then $A$, then $E$, then $B$. Then go down a fifth to get $F$. These are the "neighbors" of $C$ in the circle of fifths. You get the black keys from here using the rest of the circle of fifths. After you've gone up a "perfect" perfect fifth twelve times, you get a frequency ratio of ^{12} : 2^{12} \approx 129.7 : 1$. This happens to be rather close to ^7 : 1$, or seven octaves! And if we replace : 2$ by ^{ \frac{7}{12} } : 1$, then we get exactly seven octaves. In other words, the reason you can afford to identify these intervals is because ^{12}$ happens to be rather close to ^{19}$. Dicho de otra manera,

$$\log_2 3 \approx \frac{19}{12}$$

pasa a ser una buena aproximación racional, y esta es la base principal de temperamento igual. (La otra gran coincidencia aquí es que $\log_2 \frac{5}{4} \approx \frac{4}{12}$; esto es lo que nos permite exprimir las principales tercios en temperamento igual).

Es un hecho fundamental de la música que $\log_2 3$ is irrational, so it is impossible for any kind of equal temperament to have "perfect" perfect fifths regardless of how many notes you use. However, you can write down good rational approximations by looking at the continued fraction of $\log_2 3$ y la escritura de la convergents, y estos corresponden a los de igual temperamento escalas con más notas.

Por supuesto, usted puede utilizar otros tipos de temperamento, como bien temperamento; si nos atenemos a $ notas (que no todo el mundo lo hace!), usted se verá obligado a hacer algunos intervalos de mejor sonido y algunos intervalos de sonido peor. En particular, si no el uso de temperamento igual, a continuación, las diferentes teclas de sonido diferentes. Esta es una importante razón por la que muchos Occidentales compositores compuesto en diferentes claves; durante su tiempo, este hecho una diferencia. Como resultado, cuando usted está jugando cierto lo suficientemente viejo piezas que no son en realidad jugando a ellos, ya que estaban destinados a ser oído - eres la utilización incorrecta de la optimización.


Edit: supongo que también es bueno decir algo acerca de por qué nos preocupamos por razones de frecuencia que son cocientes de enteros pequeños. Esto tiene que ver con la física del sonido, y no estoy particularmente bien informado aquí, pero esta es mi comprensión de la situación.

Usted probablemente sabe que el sonido es una onda. Más precisamente, el sonido es una onda longitudinal llevado por las moléculas del aire. Se podría pensar que es una simple ecuación para el sonido creado por una sola nota, quizás $\sin 2\pi f t$ if the corresponding tone has frequency $f$. En realidad, esto sólo ocurre para los tonos de los cuales son producidos por medios electrónicos; en cualquier tono que producen en la naturaleza lleva consigo connotaciones y tiene una serie de Fourier

$$\sum \left( a_n \sin 2 \pi n f t + b_n \cos 2 \pi n f t \right)$$

donde los coeficientes $a_n, b_n$ determine the timbre of the sound; this is why different instruments sound different even when they play the same notes, and has to do with the physics of vibration, which I don't understand too well. So any tone which you hear at frequency $f$ almost certainly also has components at frequency f, 3f, 4f, ...$.

Si juegas dos notas de frecuencias $f, f'$ together, then the resulting sound corresponds to what you get when you add their Fourier series. Now it's not hard to see that if $\frac{f}{f'}$ es un cociente de enteros pequeños, muchos (pero no todos) de los armónicos que coinciden en la frecuencia con cada uno de los otros; el resultado de los sonidos más complejo, se nota con ciertos matices. En caso contrario, aparece la disonancia como distinguir los dos tipos de armónicos simultáneamente y sus frecuencias será similar, pero no lo suficientemente similares.


Edit: probablemente, Usted debe comprobar fuera de David Benson, "la Música: Un Matemático que Ofrece", el libro Rahul Narain recomendado en los comentarios para la historia completa. No había mucho que yo no sabía, y estoy solo en la introducción!

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