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Ejemplos de aparente patrones que fallen

A menudo, cuando trato de describir las matemáticas para el profano, me encuentro luchando para convencerlos de la importancia y consecuencia de la 'prueba'. Recibo respuestas como: "ciertamente, si la Conjetura de Collatz es cierto hasta \times 2^{58}$, then it must always be true?'; and "the sequence of number of edges on a complete graph starts ,2,3,4,5$ are less than 0$,1,3,6,10$, so the next term must be $ etc".

Por supuesto, esta segunda afirmación es lógicamente menos falible que el primero, ya que no es difícil ver la razón por la que la secuencia debe continuar como tal; sin embargo, la declaración fue hecha en una premisa que se reduce a "patrones interesantes siempre debe continuar".

Puedo tratar de contrarrestar esta lógica mediante la creación de un argumento ridículo como "el número %#%#%, por lo que seguramente todos los números son", pero esto generalmente no logra ser convincente.


Así, hay ejemplos no triviales de los patrones que parece ser cierto para un gran número de casos pequeños, pero luego no para algunos de los casos más grande? Una buena respuesta a esta pregunta debe:

  1. ser uno de los que podría ser explicado a los profanos, sin tener que someterlos a un 24 conferencia supuesto de material de fondo, y

  2. tener como mínimo un contraejemplo caso de que no (factible) se comprueba sin el uso de un ordenador.

Creo que las condiciones de 1. y 2. hacer mi pregunta lo suficientemente específica como para tener en cierto sentido, un "derecho" (o al menos un "no equivocado") respuesta, pero yo estaría encantado de aclarar si este no es el caso. Supongo que estoy esperando una respuesta desde la teoría de los números, pero se puede ver que las áreas como la teoría de grafos, combinatoria general y teoría de conjuntos podría llegar a ofrecer las respuestas adecuadas.

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Pedro Tamaroff Puntos 73748

Voy a traducir una entrada en el blog Gaussianos ("Gaussianos") acerca de Polya la conjetura, titulado:

UNA CREENCIA NO ES UNA PRUEBA.

Vamos a decir que un número es aún de tipo si en su descomposición en factores primos, un número par de números primos aparecen. Por ejemplo, % # % # % se considera incluso de tipo).

Deje = 2\cdot 3$ is a number of even kind. And we'll say a number is of odd kind if the number of primes in its factorization is odd. For example, = 2·3·3$ is of odd kind. ($ ser cualquier número natural. Vamos a considerar los siguientes números:

  1. $n$ que son incluso de tipo.
  2. $E(n) =$ number of positive integers less or equal to $n$ que son de extraño tipo.

Consideremos $O(n) =$ number of positive integers less or equal to $n$.

Para $n=7$. In this case $O(7) = 4$ (number 2, 3, 5 and 7 itself) and $E(7) = 3$ ( 1, 4 and 6). So $O(7) >E(7)$.

En 1919 George Polya propone el siguiente resultado, conocido como Poli de la Conjetura:

Para todos los $n = 6$: $O(6) = 3$ and $E(6) = 3$. Thus $O(6) = E(6)$.

Polya había comprobado esto por $n > 2$, $O(n)$ is greater than or equal to $E(n)$, lo cual es una razón por la que la conjetura podría ser pensado para ser verdad. Pero eso está mal.

En 1962, Lehman encontrado una explícita contraejemplo: para $n < 1500$. In the following years this was tested up to $n=1000000$, así:

$n = 906180359$, we have $O(n) = E(n) – 1$

Por una búsqueda exhaustiva, el más pequeño contraejemplo es $$O(906180359) < E(906180359).$$, que se encuentra por Tanaka en 1980.

Por lo tanto Polya la Conjetura es falsa.

¿Qué podemos aprender de esto? Bueno, es simple: por desgracia, en matemáticas no podemos confiar en la intuición o lo que sucede durante un número finito de casos, no importa cuán grande es el número. Hasta que el resultado se demostró para el caso general, no tenemos certeza de que es cierto.

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user21783 Puntos 11

A partir de la "Experimentación en Matemáticas" Borwein, Bailey y Girgensohn de 2004 : $$\sum_{n=1}^{\infty} \lfloor n\cdot e^{\frac{\pi}3\sqrt{163}}\rfloor 2^{-n}=1280640\ \ \text{(correct to at least half a billion digits!)}$$ El uso de la $\mathrm{sinc}$ function ($\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}x$ e este papel) : $$\int_0^{\infty} \mathrm{sinc}\left(\frac x1\right) dx=\frac{\pi}2$$ $$\int_0^{\infty} \mathrm{sinc}\left(\frac x1\right)\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac x3\right)dx=\frac{\pi}2$$ $$\int_0^{\infty} \mathrm{sinc}\left(\frac x1\right)\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac x3\right)\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac x5\right)dx=\frac{\pi}2$$ $$\cdots$$ $$\int_0^{\infty} \mathrm{sinc}\left(\frac x1\right)\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac x3\right)\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac x5\right)\cdots \mathrm{sinc}\left(\frac x{13}\right)dx=\frac{\pi}2$$ $$\int_0^{\infty} \mathrm{pues}\left(\frac x1\right)\cdot \mathrm{pues}\left(\frac x3\right)\cdots \mathrm{pues}\left(\frac x{15}\right)dx=\frac{467807924713440738696537864469}{ 935615849440640907310521750000}\pi$$


De hecho, la historia no termina aquí! Se encontró (ver Baillie y Borweins' "Sorprendente Sinc Sumas e Integrales") que podrían reemplazar a las integrales por el correspondiente $\frac 12 + \sum_1^{\infty}$ serie : $$\frac 12 + \sum_{m=1}^{\infty} \prod_{k=0}^N \mathrm{sinc}\left(\frac m{2k+1}\right)=\int_0^{\infty} \prod_{k=0}^{N} \mathrm{sinc}\left(\frac x{2k+1}\right)\ dx.$$

para los valores anteriores de ($N=0,1,2,3\cdots 7$) but also for larger values of $N$ up to 248$. For $N\gt 40248$ la parte izquierda es siempre mayor que la integral a la derecha!

En este punto los recíprocos de los números enteros impares podrían ser reemplazados por otros valores (véase el documento de las condiciones necesarias para la igualdad), por ejemplo, por los recíprocos de los números primos. Ahora, debido a la lenta divergencia en este caso, la igualdad se rompe sólo por $N \approx 10^{176}$ (when the sum of values slowly crosses the \pi$ barrier) and with an error smaller than $\displaystyle 10^{-10^{86}}$.

197voto

Oscar Kilhed Puntos 138

El trabajo seminal sobre este Richarg Hombre es El Fuerte de la Ley de los Pequeños Números de Proclamar "no hay suficientes números pequeños para satisfacer las diversas demandas de ellos," listas de $ patrones que no filtra hacia fuera. Otros han ampliado en la "ley de los pequeños números", Tal como aquí (y unos cuantos más enlaces en esa página)

Un gran ejemplo de la segunda enlace:

  • $\gcd(n^{17}+9, (n+1)^{17}+9)$ seems to always be one. In fact, if you had your computer checking this for $n=1, 2, 3, \dots$ successively, it would never find a counter-example. That is because the first counter-example is $24432925592889329288197322308900672459420460792433\;.$$

1voto

Matt Puntos 2318

Yo soy una especie de parcial a la edad $n^2 + n + 41$ chestnut, namely that the expression is prime for all $n$. Engaña a un montón de gente.

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