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Hacer números complejos realmente existe?

Los números complejos involucran la raíz cuadrada de uno negativo, y la mayoría de los no-matemáticos resulta difícil aceptar que un número significativo. En contraste, sienten que los números reales tienen una evidente y significado intuitivo. ¿Cuál es la mejor manera de explicar a un no-matemático que los números complejos son necesarios y significativos, de la misma manera que los números reales son?

Este no es un Platónico pregunta acerca de la realidad de las matemáticas, o si las abstracciones son tan reales como las entidades físicas, sino un intento de llenar un vacío de conocimiento que muchas personas experimentan cuando se enfrentan a los números complejos por primera vez. La redacción, aunque provocativa, está deliberadamente diseñado para que coincida con la forma en que muchas personas, de hecho esta pregunta.

318voto

Mike Stone Puntos 21293

Hay un par de buenas respuestas a esta pregunta, dependiendo de la audiencia. He utilizado todos estos en alguna ocasión.

Una manera de resolver polinomios

Se nos ocurrió con ecuaciones como $x - 5 = 0$, what is $x$?, and the naturals solved them (easily). Then we asked, "wait, what about $x + 5 = 0$?" So we invented negative numbers. Then we asked "wait, what about x = 1$?" So we invented rational numbers. Then we asked "wait, what about $x^2 = 2$?" así que hemos inventado los números irracionales.

Por último, nos preguntamos, "espera, ¿qué acerca de la $x^2 = -1$?" Esta es la única pregunta que quedaba, así que decidió inventar el "imaginario" de los números para resolver. Todos los otros números, en algún momento, no existen y no parecer "real", pero ahora están bien. Ahora que tenemos los números imaginarios, podemos resolver cada polinomio, así que tiene sentido que ese es el último lugar para parar.

Pares de números

Esta explicación va la ruta de redefinición. Dígale a la audiencia que se olvide todo lo que sabe acerca de los números imaginarios. Se está definiendo un nuevo sistema de número, sólo que ahora no siempre son pares de números. Por qué? Para la diversión. A continuación, vaya a través de explicar cómo la adición/multiplicación trabajo. Intenta encontrar a un buen "realista" el uso de pares de números (existen muchos).

A continuación, muestran que en este sistema, $(0,1) * (0,1) = (-1,0)$, in other words, we've defined a new system, under which it makes sense to say that $\sqrt{-1} = i$, when $i=(0,1)$. And that's really all there is to imaginary numbers: a definition of a new number system, which makes sense to use in most places. And under that system, there is an answer to $\sqrt{-1}$.

La explicación histórica

Explicar la historia de los números imaginarios. Mostrando que los matemáticos también lucharon contra ellos por un largo tiempo que ayuda a la gente a entender el proceso matemático, es decir, que todas las definiciones en la final.

Estoy un poco oxidado, pero creo que hay ciertas ecuaciones que dejaba de tener partes de ellos que utiliza $\sqrt{-1}$, y los matemáticos mantenido tirar las ecuaciones ya que no hay tal cosa.

Entonces, un matemático decidido "roll with it", y seguí trabajando, y descubrió que todas esas raíces cuadradas cancelado los unos a los otros.

Sorprendentemente, la respuesta que quedaba era la respuesta correcta (que estaba trabajando en la búsqueda de las raíces de polinomios, creo). Que le llevan a pensar que no era una razón válida para el uso de $\sqrt{-1}$, incluso si se tomó un largo tiempo para entenderlo.

82voto

flow Puntos 141

No hay ningún número que hace "realmente existe" el camino de los árboles o los átomos existen. En la física de las personas, sin embargo, han encontrado un uso para los números complejos como han encontrado el uso de los números reales.

8voto

David HAust Puntos 2696

Uno sólo tiene que consultar la historia del álgebra para muchos informal los debates sobre la existencia y consistencia de los números complejos. Cualquier informal intento de justificar la existencia de $\mathbb C$ se enfrentan a los mismos obstáculos que existían en épocas anteriores. Es decir, la falta de una rigurosa (conjunto teórico) de la fundación hace que sea difícil para ser precisos -, tanto sintáctica como semánticamente. Hoy en día el conjunto de la teoría de la fundación de estructuras algebraicas es así que en el subconsciente que es fácil pasar por alto lo mucho poder que le proporciona para tales propósitos. Pero este descuido es fácil de remediar. Uno sólo tiene que consultar algunos de los más antiguos de la literatura, donde incluso matemáticos líderes luchado inmensamente rigurosamente definir los números complejos. Por ejemplo, ver la cito a continuación por Cauchy y de Hankel de la crítica mordaz - que está garantizada para hacer que su caída de la mandíbula! (A continuación es un extracto de mi post sobre la noción de de formal polinomio de anillos y de sus cocientes).

Un gran logro de la definición teórica de estructuras algebraicas era eliminar imprecisa de la sintaxis y la semántica. La eliminación de la sintáctica término polinómico $\rm\ a+b\cdot x+c\cdot x^2\ \ $ en favor de su conjunto de la teoría de la semántica de reducción de $\rm\:(a,b,c,0,0,\ldots)\:$ eliminates many ambiguities. There is no longer be any doubt about the precise denotation of the symbols $\rm\: x,\; +,\;\cdot\:,$ o sobre el significado de la igualdad de polinomios, ya que, por un conjunto teórico de la definición, las tuplas son iguales si sus componentes son iguales. El conjunto de la teoría de la representación ("aplicación") de estos objetos algebraicos les da riguroso significado.

Del mismo modo para los números complejos $\rm\,a + b\cdot {\it i}\ $ frente de su conjunto de la teoría de la pareja de reducción de la $\rm\,(a,b)\,$ descubierto por Hamilton. Antes de Hamilton dio esta semántica reducción de $\,\mathbb C\,$ a pares de reales, antes de construcciones sintácticas (por ejemplo, por Cauchy) como formal de expresiones o términos de $\rm\:a+b\cdot {\it i}\:$ fueron objeto de fuertes críticas respecto a la denotación precisa de su componente de los símbolos, por ejemplo precisamente lo que es el significado de los símbolos $\rm\;{\it i},\, +,\, =\,?\, $ En lenguaje moderno, de Cauchy de la construcción de la $\mathbb C$ es simplemente la el cociente del anillo de $\rm\:\mathbb R[x]/(x^2+1)\cong \Bbb R[{\it i}],\,$, lo que él describe esencialmente como real expresiones polinómicas modulo $\rm\:x^2+1\:$. Sin embargo, en Cauchy del tiempo matemáticas carecían de la necesaria (teoría) las fundaciones rigurosamente definir el sintáctica de las expresiones que componen el polinomio anillo plazo-álgebra $\rm\mathbb R[x]$, y su cociente del anillo de la congruencia de las clases de $\rm\:(mod\ x^2+1).\,$ El mejor que podría Cauchy hacer era intentar describir las construcciones en términos de impreciso natural (humano) de la lengua, e.g, en 1821 Cauchy escribió:

En el análisis, la llamada de una expresión simbólica de cualquier combinación de los símbolos o signos algebraicos que no significa nada por sí mismo, pero que uno de los atributos de un valor diferente de la que debería naturalmente [...] del mismo modo, llamamos simbólico ecuaciones de los que, tomada literalmente, y serán interpretadas conforme a las convenciones de en general, se estableció que son inexactos o no tienen ningún significado, pero a partir de la cual puede deducirse resultados precisos, cambiando y la alteración, de acuerdo a reglas fijas, las ecuaciones o símbolos dentro de [...] Entre las expresiones simbólicas y ecuaciones su teoría es de considerable importancia en el análisis, una distingue especialmente aquellos que han sido llamados imaginarios. $\quad$ -- Cauchy, Cours d'analyse de 1821, S. 7.1

Mientras que en la actualidad, el uso de la teoría de conjuntos, podemos rigurosamente interpretar este tipo de "expresiones simbólicas" como los términos de lenguajes formales o término de álgebras, estaba demasiado impreciso en Cauchy tiempo para tener la esperanza de hacer sentido a sus colegas, por ejemplo, de Hankel respondió mordaz:

Si uno fuera a dar una crítica de este razonamiento, no podemos realmente ver por dónde empezar. Debe haber algo "que no significa nada", o "que se le asigna un valor diferente esto, naturalmente, debe ser", algo que "no tiene sentido" o es "incorrecta", junto con otro tipo similar, la producción de algo real. Debe ser "algebraica de los signos" - son estos los signos de las cantidades o qué? como un signo debe designar algo - combinar unos con otros en una forma que tiene un "significado". Hago no creo que estoy exagerando en llamar a este un ininteligible juego de palabras, la mala evolución de las matemáticas, que es el orgullo y justamente orgulloso de la claridad y la evidencia de sus conceptos. $\quad$-- De Hankel

Por lo tanto, no es de extrañar que Hamilton eliminación de tales "sin sentido" símbolos - en favor de los pares de reales - sirve como un importante paso adelante en la colocación de los números complejos en un fundación más susceptibles a sus contemporáneos. Aunque no se dispone todavía de la teoría de conjuntos en la que rigurosamente axiomatize la noción de pares, eran mucho más fácil para aceptar ingenuamente - esp. dado el ya conocido de cerca asociada a la interpretación geométrica de los números complejos. Hamilton presentó pares como 'parejas' en 1837 [1]:

p. 6: El autor reconoce con el placer que él está de acuerdo con M. de Cauchy, en la consideración de todos los (así llamados) Imaginaria de la Ecuación como una representación simbólica de dos separados de Ecuaciones: pero difiere en que excelente matemático en su método en general, y especialmente en la introducción de la señal sqrt(-1) hasta que él ha provisto para que, mediante su Teoría de las Parejas, una posible y real significado, como un símbolo de la pareja (0,1)

p. 111: Pero porque el Señor Tumbas empleados, en su razonamiento, el de costumbre, los principios de respeto sobre el Imaginario Cantidades, y fue contenido a probar la simbólica necesidad sin mostrar la interpretación o el significado interior, de sus fórmulas, la presentar la Teoría de las Parejas que se publica para manifestar que significado oculto: y para demostrar, por este notable ejemplo, que expresiones que parecen de acuerdo a puntos de vista comunes para ser simplemente simbólica, y absolutamente incapaz de ser interpretada, puede pasar en el mundo de los pensamientos, y la adquisición de la realidad y el significado, si Álgebra ser visto no como un mero Arte o el Lenguaje, sino como la La ciencia de Tiempo Puro. $\quad$ -- Hamilton, 1837

No es sino hasta mucho más tarde el desarrollo de la teoría era que explícitamente se dio cuenta de que los pares ordenados y, más en general, n-tuplas, servir un fundamental papel fundamental, proporcionar las materias primas necesarias para la construcción de materiales compuestos (suma/producto) las estructuras de las materias primas necesarias para la por encima de las construcciones de la polinomio de anillos y de sus cocientes. En efecto, como Akihiro Kanamori escribió en la página. 289 (17) de su muy interesante de papel [2] en la historia de la teoría de conjuntos:

En 1897 Peano formulada explícitamente el par ordenado mediante $\rm\:(x, y)\:$ y, además, levantó los dos puntos principales acerca de la par ordenado: en Primer lugar, la ecuación 18 de sus Definiciones mencionadas el instrumental de la propiedad, que es todo lo que se requiere de el par ordenado:

$$\rm (x,y) = (a,b) \ \ \iff \ \ x = a \ \ and\ \ y = b $$

Segundo, él mencionó la posibilidad de reducibilidad, escribiendo: "La idea de una pareja es fundamental, es decir, no sabemos cómo para expresar que el uso de los anteriores símbolos."

Una vez puesta en teoría se desarrolló plenamente uno tenía las materias primas (sintaxis y semántica) para proporcionar riguroso construcciones de estructuras algebraicas y precisa de idiomas para el término de álgebras. El polinomio anillo de $\rm\:R[x]\:$ hoy en día es simplemente un caso especial de mucho más general de construcciones de la libre álgebras. Tal equationally axiomatized álgebras y su génesis a través de los llamados 'las propiedades de la asignación universal' son algunos de los temas discutidos en detalle en cualquier curso de Álgebra Universal - por ejemplo, ver Bergman [3] para un particular lucidez presentación.

[1] William Rowan Hamilton. La teoría de conjugar las funciones, o algebraica de las parejas; con un preliminar de la primaria y el ensayo sobre el álgebra como la ciencia de tiempo puro
Trans. Real Academia Irlandesa, v. 17, parte 1 (1837), pp 293-422.)
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/PureTime/PureTime.pdf

[2] Akihiro Kanamori. El Conjunto Vacío, el Singleton, y el Par Ordenado
El Boletín de la Lógica Simbólica, Vol. 9, Nº 3. (Sep., 2003), pp 273-298.
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.95.9839
PS http://www.math.ucla.edu/~asl/español/0903/0903-001.ps
PDF http://ifile.it/b20c48j

[3] George M. Bergman. Una Invitación a Álgebra General y Universal de Construcciones.
PS http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/
PDF http://ifile.it/yquj5w1

8voto

Joseph Sturtevant Puntos 6597

En mi opinión, la manera más natural a la vista del número complejo es como una clase de mapas desde el avión a sí mismo. Específicamente, permite definir $(R, \theta)$ to be the map which multiplies every point in the plane by the number $R$, and then rotates it by the angle $\theta$. Podemos llamar a estos mapas "dilataciones con las rotaciones."

Estos mapas pueden ser añadidos y el compuesto (multiplicado) en la forma obvia, y no es dificil de trabajar que la suma y el producto de dos de estas asignaciones es otro de dilatación con la rotación.

También podemos identificar el número real $x$ with the map $(x,0)$, i.e. the map which multiplies every point in the plane by $x$. Then we see that these maps have the magical property that $-1$ has a square root! Namely, if $P$ is the mapping $(1,\pi/2)$ (i.e. rotate every point by angle $\pi/2$), then applying $P$ twice is the same as multiplying every number by $-1$, i.e. $P^2=-1$!

Como debería ser obvio por ahora, estos mapas son sólo números complejos en el disfraz.

Como era de esperar, son singularmente útil para resolver ecuaciones polinómicas. De hecho, el número real $x'$ is a root of the polynomial equations $a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n =0$ if and only if the mapping $(x',0)$ satisface la misma ecuación. Para la visualización de ecuaciones polinómicas en el conjunto de estas asignaciones no pierde soluciones, mientras que al mismo tiempo que nos da más libertad para hacer operaciones tales como la toma de las raíces cuadradas de números negativos.

3voto

Yaakov Ellis Puntos 15470

El concepto de la matemática de los números y de "existente" es complicado. Lo que realmente "existe"?

Hacer números negativos existen? Por supuesto que no. Usted no puede tener un número negativo de las manzanas.

Sin embargo, la belleza de los números negativos es que cuando definimos (rigurosamente), de repente se puede utilizar para resolver problemas que nunca fueron nunca capaces de resolver antes de, o podemos resolverlos de una manera mucho más sencilla.

Imagínese tratando de hacer simples de la física sin la idea de los números negativos!

Pero son "reales"? Hacer que "existe"? No, ellos No. Pero no son sólo herramientas que nos ayudan a resolver problemas de la vida real.

Para volver a tu pregunta acerca de los números complejos, yo diría que la idea de que existe, o no tiene nada que ver con si son realmente útiles en la solución de los problemas de la vida de cada día, o hacer muchas, muchas, muchas veces más fácil de resolver.

Las matemáticas que hace que su ordenador funcione implica la herramienta que es el de los números complejos, por ejemplo.

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