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Encontrar cinco enteros positivos cuya recíprocos suma a $

Encontrar un entero positivo solución de $(x,y,z,a,b)$ para los que

$$\frac{1}{x}+ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1\;.$$

Es su respuesta, la única solución? Si es así, mostrar por qué.

Me sorprendió que un profesor de asignar este tipo de problema a una 5to grado niño. (Yo soy un estudiante de la universidad tutor) Esta chica va a una escuela privada en una zona rica.

Por favor, evitar el trivial $x=y=z=a=b=5$. Try looking for a solution where $ x \neq y \neq z \neq a \neq b$ o si no, busca uno donde una variable es igual a otro, pero explique su razonamiento. La chica estaba cubriendo de unidad de "fracciones" en su clase.

372voto

DiGi Puntos 1925

El número perfecto de la =1+2+4+7+14$ proporciona una solución:

$$\frac1{28}+\frac1{14}+\frac17+\frac14+\frac12=\frac{1+2+4+7+14}{28}=1\;.$$

Si ellos han estado haciendo de la unidad (o "Egipcia") de las fracciones, que me gustaría esperar algunos a ver que desde $\frac16+\frac13=\frac12$, $$\frac16+\frac16+\frac16+\frac16+\frac13=1$$ es una solución, aunque no de una forma mucho más interesante que la solución trivial. La elección de las cartas podría sugerir la solución

$$\frac16+\frac16+\frac16+\frac14+\frac14\;.$$

Un poco jugando mostraría que $\frac14+\frac15=\frac9{20}$, which differs from $\frac12$ by just $\frac1{20}$; que los rendimientos de la solución

$$\frac1{20}+\frac15+\frac14+\frac14+\frac14\;.$$

Si yo fuera el profesor, yo espero que algunos niños se dan cuenta de que, dado que el promedio de las fracciones es $\frac15$, in any non-trivial solution at least one denominator must be less than $, and at least one must be greater than $. Say that $x\le y\le z\le a\le b$. Clearly $x\ge 2$, so let's try $x=2$. Entonces tenemos que resolver

$$\frac1y+\frac1z+\frac1a+\frac1b=\frac12\;.$$

Ahora $y\ge 3$. Suppose that $y=3$; then $$\frac1z+\frac1a+\frac1b=\frac16\;.$$

Ahora ,2$, and $ all divide $, and $\frac16=\frac6{36}$, así que podemos escribir

$$\frac1{36}+\frac1{18}+\frac1{12}=\frac{1+2+3}{36}=\frac6{36}=\frac16\;,$$

y tenemos otro 'bonito' solución,

$$\frac12+\frac13+\frac1{12}+\frac1{18}+\frac1{36}\;.$$

276voto

John Channing Puntos 3264

Usted puede conectarse a la geometría. Cortar el cuadrado en igual-piezas de tamaño, a continuación, tomar algunas de esas piezas y se cortan en pequeños hasta que usted consigue cinco piezas. por ejemplo,

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Después de eso, usted podría intentar diferentes piezas de tamaño y tiene una buena oportunidad de conseguir algo como esto:

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176voto

Gene Choin Puntos 1

Esta solución puede ser muy avanzado para un estudiante de quinto grado, pero se puede hacer de este problema a través de algoritmos - simplemente por la búsqueda de todas las posibles fracciones.

El quid de la cuestión es el uso de un algoritmo voraz - empiece con la mayor fracción, y continuar la iteración pequeñas fracciones hasta que no pueda más. Por ejemplo, $\displaystyle \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 7 + \frac 1 {43} + \frac 1 {1806}$ would be the first one you find. The next one would be $\displaystyle \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 7 + \frac 1 {44} + \frac 1 {924}$, then $\displaystyle \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 7 + \frac 1 {45} + \frac 1 {630}$, y así sucesivamente.

Aquí el algoritmo en más detalle:

  • Para el primer número, comienzan con $\displaystyle \frac 12$, eventually working your way down to $\displaystyle \frac15$ (que es la más pequeña que la fracción más grande puede ser, así que usted puede parar ahí).
  • Reste esta fracción a partir de 1, y el uso de la parte restante para determinar lo que los próximos números de recorrer.
  • Para cada una de las siguientes fracciones, comenzar con la unidad más grande de la fracción de menor tamaño que el "resto" de que la izquierda y la fracción anterior, y trabajo hasta llegar a la unidad mínima fracción de más de $\displaystyle \frac1n$ the "remaining part", where your fraction is the $n$th última fracción, y hacer lo mismo que el anterior, restando la unidad de fracción a partir de la "parte restante" para la próxima fracción de usar.
  • Una vez que usted tiene cuatro fracciones, si el "resto" de la última fracción se puede expresar como una unidad de fracción, usted tiene una solución. De lo contrario, usted no, y seguir adelante.

Este algoritmo devolverá todos los posibles de la unidad de fracción combinaciones, a partir de $\displaystyle \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 7 + \frac 1 {43} + \frac 1 {1806}$ and ending with $\displaystyle \frac 15 + \frac 15 + \frac 15 + \frac 15 + \frac 15$.


http://joezeng.com/code/fractions/fractions.html $\leftarrow$ Esta es una lista de todas las fracciones, generado dinámicamente utilizando algunos recursiva Javascript que implementa el algoritmo anterior. Usted puede ver el código fuente aquí, que tengo MIT-con licencia para fines de demostración.

De acuerdo con el generador, hay un total de 147 soluciones para 5 fracciones, y el "mínimo única solución" de manera tal que todos los denominadores son distintos y su suma es el más bajo posible es $\displaystyle \frac 13 + \frac 14 + \frac 15 + \frac 16 + \frac 1 {20}$. There is another "minimum unique solution", such that the largest denominator is the lowest, which is $\displaystyle \frac 12 + \frac 14 + \frac 1{10} + \frac 1{12} + \frac 1{15}$.

También puede usar el generador para generar fracción listas de tamaños arbitrarios mediante la modificación de la función inicial de la llamada para el uso de 6 niveles (o 2, 3, o 4) en lugar de 5, así como generar Egipcio fracción expansiones fracciones arbitrarias (por la modificación de los dos primeros términos de 1, de 1 a otras cosas).

103voto

acme Puntos 467

Otro método sería empezar con $${1\over2}+{1\over3}+{1\over 6}=1$$ Dividir por dos y agregar \over 2$; this yields $${1\over 2}+{1\over 4}+{1\over 6}+{1\over 12}=1$$ De nuevo, dividir por dos y agregar \over 2$; this yields $${1\over 2}+{1\over 4}+{1\over8}+{1\over 12}+{1\over 24}=1$$

40voto

user8269 Puntos 46

El número de soluciones de $={1\over x_1}+{1\over x_2}+\cdots+{1\over x_n},\ \ \ 0\lt x_1\le x_2\le\cdots\le x_n$$ is tabulated, as a function of $n$, at http://oeis.org/A002966 but only a few terms are given: , 1, 3, 14, 147, 3462, 294314, 159330691$. No sé si el número de soluciones con todos los denominadores distintos ha sido tabulados en ese sitio.

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