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Cómo probar que $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$?

¿Cómo puede uno probar la declaración de $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}x=1$$ sin utilizar la serie de Taylor de $\sin$, $\cos$ and $\tan$? Mejor sería una solución geométrica.

Esta es la tarea. En mi clase de matemáticas, vamos a demostrar que $\sin$ is continuous. We found out, that proving the above statement is enough for proving the continuity of $\sin$, pero no puedo averiguar cómo. Cualquier ayuda es muy apreciada.

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Anthony Shaw Puntos 858

sinc and tanc at 0

El área de $\triangle ABC$ is $\frac{1}{2}\sin(x)$. The area of the colored wedge is $\frac{1}{2}x$, and the area of $\triangle ABD$ is $\frac{1}{2}\tan(x)$. Por la inclusión, obtenemos $$ \frac{1}{2}\tan(x)\ge\frac{1}{2}x\ge\frac{1}{2}\sin(x)\etiqueta{1} $$ Dividiendo $(1)$ by $\frac{1}{2}\sin(x)$ y tomando recíprocos, obtenemos $$ \cos(x)\le\frac{\sin(x)}{x}\le1\etiqueta{2} $$ Desde $\frac{\sin(x)}{x}$ and $\cos(x)$ are even functions, $(2)$ is valid for any non-zero $x$ between $-\frac{\pi}{2}$ and $\frac{\pi}{2}$. Furthermore, since $\cos(x)$ is continuous near $(2)$ by $\cos(x)$$ and $\cos(0) = 1$, obtenemos que $$ \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1\etiqueta{3} $$ También, dividiendo $\sec(x)$ is continuous near %#%#%$ and $\sec(0) = 1$, obtenemos que $$ 1\le\frac{\tan(x)}{x}\le\sec(x)\etiqueta{4} $$ Desde %#%#%, obtenemos que $$ \lim_{x\to0}\frac{\tan(x)}{x}=1\etiqueta{5} $$

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user102008 Puntos 2666

Usted debe primero probar que para $x > 0$ small that $\sin x < x < \tan x$. Then, dividing by $x$ consigue $$ { \sin x \sobre x} < 1 $$ y reordenamiento de las < {\tan x \over x} = {\sin x \over x \cos x }$ $$ \cos x < {\sin x \a más de x}. $$ Tomando $x \rightarrow 0^+$ you apply the squeeze theorem. For $x < 0$ and small use that $\sin(-x) = -x$ so that ${\sin(-x) \over -x} = {\sin x \over x}$.

Tan lejos como ¿por qué la primera desigualdad que he dicho es cierto, usted puede hacer esto por completo a partir de los triángulos, pero no sé cómo sacar las fotos aquí.

diagram

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Michael Hardy Puntos 128804

Generalmente el cálculo de los libros de texto, hacerlo con argumentos geométricos siguió apretando.

He aquí una de Euler-esque forma de mirarla---no es una "prueba" como el término que generalmente se entiende hoy en día, pero todavía vale la pena conocer.

Deje $\theta$ be the length of an arc along the circle of unit radius centered at $(0,0)$, from the point $(1,0)$ in a counterclockwise direction to some point $(\cos\theta,\sin\theta)$ on the circle. Then of course $\sin\theta$ is the height of the latter point above the $x$-axis. Now imagine what happens if $\theta$ is an infinitely small positive number. Then the arc is just an infinitely short vertical line, and the height of the endpoint above the $x$-axis is just the length of the arc. I.e. when $\theta$ is an infinitely small number, then $\sin\theta$ is the same as $\theta$. It follows that when $\theta$ is an infinitely small nonzero number, then $\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1$.

Que es como el de Euler, visto el asunto. Ver su libro sobre cálculo diferencial.

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OFFSHARING Puntos 19136

Aquí puede ver un acercamiento elemental que comienza a partir de un resultado muy interesante, ver a este problema. Todo lo que necesitas es un poco de imaginación. Cuando tomamos $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n\sin(\frac{\pi}{n})}{1+\sin(\frac{\pi}{n})}$ we may notice that we have infinitely many circles surrounding the unit circle with infinitely small diameters that lastly perfectly approximate the length of the unit circle when having it there infinity times . Therefore when multiplying n by the radius under the limit to infinity we get π. Let's denote $\frac{\pi}{n}$ por x.

$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\pi\sin(x)}{x(1+\sin(x))}={\pi}\Rightarrow\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin(x)}{x(1+\sin(x))}=1\Rightarrow\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin(x)}{x}=1$$

La prueba está completa.

46voto

Mark Brackett Puntos 46824

No estoy seguro de si vale como prueba, pero he visto que esta hecho por un estudiante de secundaria. enter image description here

En la imagen de arriba, $\displaystyle 2n \text{ EJ} = 2nR \sin\left( \frac{\pi}{n } \right ) = \text{ perimeter of polygon }$.

$\displaystyle \lim_{n\to \infty }2nR \sin\left( \frac{\pi}{n } \right ) = \lim_{n\to \infty } (\text{ perimeter of polygon }) = 2 \pi R \implies \lim_{n\to \infty}\frac{\sin\left( \frac{\pi}{n } \right )}{\left( \frac{\pi}{n } \right )} = 1$ and let $\frac{\pi}{n} = x$.

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