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¿Cuántos lados tiene un círculo?

Mi hijo está en segundo grado. Su profesor de matemáticas le hizo un examen a la clase, y una pregunta era esta:

Si un triángulo tiene 3 lados, y un rectángulo tiene 4 lados, ¿cuántos lados tiene un círculo?

Mi primera reacción fue "0" o "indefinida". Pero mi hijo escribió " $ \infty $ "que creo que es una respuesta razonable. Sin embargo, se marcó mal con el comentario, "la respuesta es 1".

¿Hay una respuesta correcta aceptada en la geometría?

editar: Me encontré con este profesor recientemente y mencioné este problema de la prueba. Dijo que pensaba que mi hijo había escrito "8" y no sabía que un "8" de lado significa infinito.

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Matt Dawdy Puntos 5479

La respuesta depende de la definición de la palabra "lado". Creo que esta es una pregunta terrible (editar: para hacer una prueba ) y es el tipo de cosa que hará que los niños odien las matemáticas. "Lado" es un término que debería reservarse para los polígonos.

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Tim Howland Puntos 3650

Mi hijo de tercer grado llegó a casa hace unas semanas con preguntas similares a las de los deberes:

¿Cuántas caras, bordes y vértices hacen lo siguiente ¿lo has hecho?

  • cubo
  • cilindro
  • cono
  • esfera

Como la mayoría de los matemáticos, mi primera reacción fue que para este último objeto la pregunta necesitaría una precisa definición de la cara, el borde y el vértice, y no es realmente sensato sin tales definiciones.

Pero después de hablar del problema con numerosas personas, realizando una especie de experimento social/matemático, observé algo intrigante. Lo que observé fue que ninguno de mis amigos y conocidos no matemáticos había cualquier problema con el uso de un concepto geométrico intuitivo aquí, y todos estuvieron completamente de acuerdo en que las respuestas deberían ser

  • cubo: 6 caras, 12 bordes, 8 vértices
  • cilindro: 3 caras, 2 bordes, 0 vértices
  • cono: 2 caras, 1 borde, 1 vértice
  • esfera: 1 cara, 0 bordes, 0 vértices

De hecho, estas eran también las respuestas deseadas por mi el maestro de su hijo (que es un maestro verdaderamente destacado). Mientras tanto, todas mis matemáticas los colegas se han puesto el dobladillo y han hablado de que no podemos realmente respuesta, y qué significa "cara" en este contexto de todos modos, y así sucesivamente; la mayoría de ellos querían decir en última instancia que un La esfera tiene infinitamente muchas caras e infinitamente muchas vértices y así sucesivamente. Para los deberes, mi hijo escribió una explicación dando las respuestas anteriores, pero también explicando que había un sentido en el que algunas de las respuestas eran infinitas, dependiendo de lo que se quería decir.

En una fiesta este pasado fin de semana llena de matemáticos y filósofos, fue un juego divertido para los primeros hacer la pregunta a un matemático, que invariablemente hizo varias objeciones y negativas y dijo que no tenía sentido y así sucesivamente, y luego el el cónyuge no matemático daría directamente una completa y clara cuenta. Hubo muchas disputas amistosas sobre eso esa noche.

Así que parece, evidentemente, que nuestra extensa formación matemática ha interfirió con nuestra capacidad de comprender fácilmente lo que los niños y que los no matemáticos encuentran que es una clara y distintiva concepto geométrico.

(Mi opinión actual, sin embargo, es que es nuestra formación la que nos ha enseñado que los conceptos no son tan claros y distintivos, como lo atestiguan numerosos casos límite y de contraejemplo en la lucha histórica por encontrar las definiciones correctas para la $V-E+F$ y otros teoremas.)

26voto

Owen Sizemore Puntos 3016

Sé que llego tarde a la fiesta, pero me sorprende que nadie lo haya mencionado. En la teoría de la convexidad, hay una noción llamada punto extremo que generaliza la noción de vértice (o esquina) de un polígono. Para esta definición, cada punto de un círculo es un punto extremo, por lo que tiene sentido decir que tiene infinitas (¡incontables!) muchas esquinas. Aunque la noción de lado no es tan buena. Si la definición es un segmento de línea que une dos vértices, entonces la respuesta sería 0 para el círculo.

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bentsai Puntos 1886

Para aquellos que piensan que la respuesta es $ \lim \limits_ {n \rightarrow \infty } n = \infty $ vía:

  • Un $n$ -El gobierno ha $n$ lados;
  • Un círculo es un límite de un $n$ -gón como $n \rightarrow \infty $ ;
  • Por lo tanto, un círculo tiene $ \lim \limits_ {n \rightarrow \infty } n = \infty $ lados;

Me gustaría mencionar que no es tan sencillo. Si tomar los límites de esta manera fuera legítimo, entonces podemos mostrar que, por ejemplo, un cuadrado tiene un número infinito de lados.

Considere una escalera con $n$ pasos, y cada paso tiene una altura $1/n$ y el ancho $1/n$ . Consiste en $2n$ segmentos de línea. Como $n \rightarrow \infty $ la escalera converge en un segmento de una sola línea (es decir, el límite concuerda punto por punto con un segmento de una sola línea).

Si pegamos cuatro de estas escaleras juntas, y tomamos su límite, obtenemos un cuadrado, que tendría $ \lim \limits_ {n \rightarrow \infty } 4 \times 2n = \infty $ lados.

7voto

Anthony Shaw Puntos 858

Esto es en referencia a la respuesta de Douglas Stones, pero las imágenes no pueden ser incrustadas en los comentarios. Los límites de los lados pueden tener un ángulo recto, como estos octógonos convergiendo en un cuadrado.

octogons

Una línea recta podría ser cualquier número de lados con ángulos rectos entre ellos.

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