¿Cuántos lados tiene un círculo?

Question

Mi hijo está en segundo grado. Su profesor de matemáticas le dio a la clase una prueba, y una de las preguntas fue esta:

Si un triángulo tiene 3 lados, y un rectángulo tiene 4 lados, ¿cuántos lados tiene un círculo?

Mi primera reacción fue "0" o "indefinido". Pero mi hijo escribió "$\infty$" que creo que es una respuesta razonable. Sin embargo, fue marcada como incorrecta con el comentario, "la respuesta es 1".

¿Existe una respuesta correcta aceptada en geometría?

edit: Me encontré con esta profesora recientemente y mencioné este problema de la prueba. Ella dijo que pensaba que mi hijo había escrito "8". No sabía que un "8" acostado significa infinito.

Answer 1

La respuesta depende de la definición de la palabra "lado". Creo que esta es una pregunta terrible (edición: para poner en un examen) y es el tipo de cosa que hará que los niños odien las matemáticas. "Lado" es un término que realmente debería reservarse para los polígonos.

Answer 2

Mi hijo de tercer grado llegó a casa hace unas semanas con preguntas de tarea similares:

¿Cuántas caras, aristas y vértices tienen los siguientes?

• cubo
• cilindro
• cono
• esfera

Al igual que la mayoría de los matemáticos, mi primera reacción fue que para los últimos objetos la pregunta necesitaría una definición precisa de cara, arista y vértice, y no tiene realmente sentido sin tales definiciones.

Pero después de hablar sobre el problema con numerosas personas, llevando a cabo una especie de experimento social/matemático, observé algo intrigante. Lo que observé fue que ninguno de mis amigos y conocidos no matemáticos tuvo algún problema con utilizar un concepto geométrico intuitivo aquí, y todos estuvieron completamente de acuerdo en que las respuestas deberían ser

• cubo: 6 caras, 12 aristas, 8 vértices
• cilindro: 3 caras, 2 aristas, 0 vértices
• cono: 2 caras, 1 arista, 1 vértice
• esfera: 1 cara, 0 aristas, 0 vértices

De hecho, estas fueron también las respuestas deseadas por la maestra de mi hijo (quien es una maestra realmente excepcional). Mientras tanto, todos mis colegas matemáticos titubearon al decir que realmente no podíamos responder, y ¿qué significa "cara" en este contexto de todos modos, y así sucesivamente; la mayoría de ellos al final querían decir que una esfera tiene infinitas caras y vértices y así sucesivamente. Para la tarea, mi hijo escribió una explicación dando las respuestas anteriores, pero también explicando que había un sentido en el que algunas de las respuestas eran infinitas, dependiendo de lo que se quisiera decir.

En una fiesta el fin de semana pasado llena de matemáticos y filósofos, fue un juego divertido preguntar primero a un matemático la pregunta, quien invariablemente hacía varias objeciones y se negaba a responder y decía que no tenía sentido y así sucesivamente, y entonces la pareja no matemática daba una explicación completamente clara. Hubo muchas disputas amistosas al respecto esa noche.

Así que parece, evidentemente, que nuestra extensa formación matemática ha interferido con nuestra capacidad para comprender fácilmente lo que los niños y no matemáticos encuentran ser un concepto geométrico claro y distinto.

(Sin embargo, mi opinión actual es que es nuestra formación la que nos ha enseñado que los conceptos no son tan claros y distintos, como lo demuestran numerosos casos fronterizos y de contraejemplos en la lucha histórica por encontrar las definiciones correctas para los teoremas $V-E+F$ y otros.)

Answer 3

Sé que llego tarde a la fiesta, pero me sorprende que nadie haya mencionado esto. En la teoría de convexidad, existe una noción llamada punto extremo que generaliza la noción de vértice (o esquina) de un polígono. Para esta definición, cada punto en un círculo es un punto extremo, por lo que tiene sentido decir que tiene infinitos (¡incontables!) vértices. Aunque la noción de lado no es tan buena. Si la definición es segmento de línea que une dos vértices, entonces la respuesta sería 0 para el círculo.

Answer 4

Esto se refiere a la respuesta de Douglas Stones, pero las imágenes no pueden ser incrustadas en los comentarios. Los límites de los lados pueden tener un ángulo recto, como estos octágonos convergiendo en un cuadrado.

Una línea recta podría ser cualquier número de lados con ángulos rectos entre ellos.

Answer 5

Para aquellos que piensan que la respuesta es $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n = \infty$, a través de:

• Un $n$-gono tiene $n$ lados;
• Un círculo es el límite de un $n$-gono a medida que $n \rightarrow \infty$;
• Por lo tanto un círculo tiene $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n = \infty$ lados;

Me gustaría mencionar: no es tan simple. Si tomar límites de esta manera fuera legítimo, entonces podríamos mostrar que por ejemplo un cuadrado tiene un número infinito de lados.

Considera una escalera con $n$ escalones, y cada escalón tiene una altura de $1/n$ y un ancho de $1/n$. Consiste en $2n$ segmentos de línea. A medida que $n \rightarrow \infty$, la escalera converge a un solo segmento de línea (es decir, el límite coincide punto por punto con un solo segmento de línea).

Si unimos cuatro de estas escaleras juntas, y tomamos su límite, obtenemos un cuadrado, que tendría $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 4 \times 2n = \infty$ lados.