188 votos

¿Cuántos lados tiene un círculo?

Mi hijo está en segundo grado. Su profesor de matemáticas le hizo un examen a la clase, y una pregunta era esta:

Si un triángulo tiene 3 lados, y un rectángulo tiene 4 lados, ¿cuántos lados tiene un círculo?

Mi primera reacción fue "0" o "indefinida". Pero mi hijo escribió " $ \infty $ "que creo que es una respuesta razonable. Sin embargo, se marcó mal con el comentario, "la respuesta es 1".

¿Hay una respuesta correcta aceptada en la geometría?

editar: Me encontré con este profesor recientemente y mencioné este problema de la prueba. Dijo que pensaba que mi hijo había escrito "8" y no sabía que un "8" de lado significa infinito.

245 votos

Un profesor ridículo, en mi opinión.

42 votos

Parece muy probable que el profesor no haya dejado claro qué considera que es un "lado" y si el término es aplicable o no a los círculos.

32 votos

La pregunta está incompleta tal y como está planteada. Decir que un triángulo tiene 3 lados y que un rectángulo tiene 4 lados no es una buena definición de "lados". Esta es una pregunta bastante ridícula para estudiantes de 2º grado. La pregunta sólo puede confundir, y no tiene una respuesta definitiva basada en esta definición.

149voto

Matt Dawdy Puntos 5479

La respuesta depende de la definición de la palabra "lado". Creo que esta es una pregunta terrible (editar: para hacer una prueba ) y es el tipo de cosa que hará que los niños odien las matemáticas. "Lado" es un término que debería reservarse para los polígonos.

71 votos

No creo que la pregunta sea terrible en sí misma, pero plantearla sin darse cuenta de que hay argumentos a favor de $0$ , $1$ y $\infty$ y el marcado $\infty$ como equivocada es catastrófica.

76 votos

O la interpretación más común de la pregunta, "2 lados, interior y exterior"

0 votos

Estoy un poco confundido. ¿por qué un círculo no tiene infinitos lados? tiene infinitas tangentes, ¿no?

128voto

Tim Howland Puntos 3650

Mi hijo de tercer grado llegó a casa hace unas semanas con preguntas similares a las de los deberes:

¿Cuántas caras, bordes y vértices hacen lo siguiente ¿lo has hecho?

  • cubo
  • cilindro
  • cono
  • esfera

Como la mayoría de los matemáticos, mi primera reacción fue que para este último objeto la pregunta necesitaría una precisa definición de la cara, el borde y el vértice, y no es realmente sensato sin tales definiciones.

Pero después de hablar del problema con numerosas personas, realizando una especie de experimento social/matemático, observé algo intrigante. Lo que observé fue que ninguno de mis amigos y conocidos no matemáticos había cualquier problema con el uso de un concepto geométrico intuitivo aquí, y todos estuvieron completamente de acuerdo en que las respuestas deberían ser

  • cubo: 6 caras, 12 bordes, 8 vértices
  • cilindro: 3 caras, 2 bordes, 0 vértices
  • cono: 2 caras, 1 borde, 1 vértice
  • esfera: 1 cara, 0 bordes, 0 vértices

De hecho, estas eran también las respuestas deseadas por mi el maestro de su hijo (que es un maestro verdaderamente destacado). Mientras tanto, todas mis matemáticas los colegas se han puesto el dobladillo y han hablado de que no podemos realmente respuesta, y qué significa "cara" en este contexto de todos modos, y así sucesivamente; la mayoría de ellos querían decir en última instancia que un La esfera tiene infinitamente muchas caras e infinitamente muchas vértices y así sucesivamente. Para los deberes, mi hijo escribió una explicación dando las respuestas anteriores, pero también explicando que había un sentido en el que algunas de las respuestas eran infinitas, dependiendo de lo que se quería decir.

En una fiesta este pasado fin de semana llena de matemáticos y filósofos, fue un juego divertido para los primeros hacer la pregunta a un matemático, que invariablemente hizo varias objeciones y negativas y dijo que no tenía sentido y así sucesivamente, y luego el el cónyuge no matemático daría directamente una completa y clara cuenta. Hubo muchas disputas amistosas sobre eso esa noche.

Así que parece, evidentemente, que nuestra extensa formación matemática ha interfirió con nuestra capacidad de comprender fácilmente lo que los niños y que los no matemáticos encuentran que es una clara y distintiva concepto geométrico.

(Mi opinión actual, sin embargo, es que es nuestra formación la que nos ha enseñado que los conceptos no son tan claros y distintivos, como lo atestiguan numerosos casos límite y de contraejemplo en la lucha histórica por encontrar las definiciones correctas para la $V-E+F$ y otros teoremas.)

1 votos

Vale, entonces son "colectores con (colectores con límites) como límites", las caras describen las partes del colector, las aristas describen las partes del colector de los límites, y los vértices describen los límites de los límites. Eso está bien hasta donde llega, pero no tener definiciones formales en esta situación sólo va a hacer más difícil que distingas entre los diferentes tipos de caras y aristas que implican esos recuentos, y en consecuencia te será más difícil descubrir la fórmula de Euler. Lo que perdemos en nuestra capacidad de responder a preguntas capciosas lo ganamos en La fórmula de Euler.

35 votos

"... nuestra amplia formación matemática ha interferido en nuestra capacidad para captar fácilmente lo que los niños y los no matemáticos consideran un concepto claro...". - Creo que esto se aplica en gran medida a los problemas de "encontrar el patrón (entero)" que se pueden encontrar en los test de inteligencia y similares. Los matemáticos afirman que las soluciones son infinitas; los no matemáticos rellenan realmente una respuesta ¡! Por cierto, gracias por su respuesta.

18 votos

@The Chaz: ese es un mal ejemplo. Tu capacidad para responder a esas preguntas no está necesariamente relacionada con ninguna medida objetiva de inteligencia: se correlaciona con estar familiarizado con ciertos ejemplos de esas preguntas y, más generalmente, con haber sido criado en una cultura en la que existen esas preguntas. Cuando los matemáticos reaccionan negativamente al uso de tales preguntas, están reaccionando en parte a esta arbitrariedad (al menos yo lo hago). Ser capaz de responder a este tipo de preguntas indica que eres bueno anticipando el tipo de respuestas que quieren los creadores del examen, ni más ni menos.

32voto

Owen Sizemore Puntos 3016

Sé que llego tarde a la fiesta, pero me sorprende que nadie lo haya mencionado. En la teoría de la convexidad, hay una noción llamada punto extremo que generaliza la noción de vértice (o esquina) de un polígono. Para esta definición, cada punto de un círculo es un punto extremo, por lo que tiene sentido decir que tiene infinitas (¡incontables!) muchas esquinas. Aunque la noción de lado no es tan buena. Si la definición es un segmento de línea que une dos vértices, entonces la respuesta sería 0 para el círculo.

5 votos

Tenía mis downvotes preparados, esperando las típicas tonterías vertidas por alguien que desentierra una antigua pregunta, pero gran respuesta .

25voto

Anthony Shaw Puntos 858

Esto es en referencia a la respuesta de Douglas Stones, pero las imágenes no pueden ser incrustadas en los comentarios. Los límites de los lados pueden tener un ángulo recto, como estos octógonos convergiendo en un cuadrado.

octogons

Una línea recta podría ser cualquier número de lados con ángulos rectos entre ellos.

22voto

bentsai Puntos 1886

Para aquellos que piensan que la respuesta es $ \lim \limits_ {n \rightarrow \infty } n = \infty $ vía:

  • Un $n$ -El gobierno ha $n$ lados;
  • Un círculo es un límite de un $n$ -gón como $n \rightarrow \infty $ ;
  • Por lo tanto, un círculo tiene $ \lim \limits_ {n \rightarrow \infty } n = \infty $ lados;

Me gustaría mencionar que no es tan sencillo. Si tomar los límites de esta manera fuera legítimo, entonces podemos mostrar que, por ejemplo, un cuadrado tiene un número infinito de lados.

Considere una escalera con $n$ pasos, y cada paso tiene una altura $1/n$ y el ancho $1/n$ . Consiste en $2n$ segmentos de línea. Como $n \rightarrow \infty $ la escalera converge en un segmento de una sola línea (es decir, el límite concuerda punto por punto con un segmento de una sola línea).

Si pegamos cuatro de estas escaleras juntas, y tomamos su límite, obtenemos un cuadrado, que tendría $ \lim \limits_ {n \rightarrow \infty } 4 \times 2n = \infty $ lados.

13 votos

1 votos

@Douglas: 1.¿Define "línea"? 2. Define "encolado"

3 votos

@Douglas: Creo que el razonamiento no era así, sino en la línea de "un triángulo tiene tres tangentes, un cuadrado tiene cuatro y un círculo tiene infinitas".

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