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Probar la identidad %#% #% sin inducción

Recientemente probé ese $$ \sum_{k=1}^n k ^ 3 = \left (\sum_ {k = 1} ^ n k \right)^2 $$ usando inducción matemática. Estoy interesado si hay una explicación intuitiva, o incluso una interpretación combinatoria de esta propiedad. También me gustaría ver otras pruebas.

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Anthony Shaw Puntos 858

No sé si esto es intuitivo, pero es gráfico.

Graphic proof that the sum of cubes is the square of the sum of first powers

En el borde exterior de cada una de las $(k{+}1){\times}k$ block there are $k$ pairs of products each of which total to $k^2$. Thus, the outer edge sums to $k^3$, and the sum of the whole array is therefore $\sum\limits_{k=1}^n k^3$.

La matriz es la matriz del producto $$ \left[\begin{array}{r}0\\1\\2\\\vdots\\n\end{array}\right]\bullet\left[\begin{array}{rrrrr}1&2&3&\cdots&n\end{array}\right] $$ Por lo tanto, la suma de los elementos de la matriz es $\sum\limits_{k=0}^nk\;\sum\limits_{k=1}^nk=\left(\sum\limits_{k=1}^nk\right)^2$.

Por lo tanto, $\sum\limits_{k=1}^n k^3=\left(\sum\limits_{k=1}^nk\right)^2$

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Alya Puntos 2106

¿Puede obtener la explicación de la intuición de los dos cuadros siguientes? [EDIT: lo que sigue es esencialmente la misma como respuesta de Mariano. No mencionó la primera foto aunque.]

enter image description hereenter image description here

Las imágenes son de Brian R Sears.

23voto

Martin OConnor Puntos 116

Hay esta simpática imagen de la entrada de Wikipedia sobre el Número triangular cuadrado:

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El lado izquierdo muestra que %#% #%. La muestra para colorear por los dos lados son iguales.

Hay varias otras referencias para pruebas de combinatorias y geométricos argumentos en la página de Wikipedia.

8voto

Xetius Puntos 10445

Mirar la siguiente imagen, tomada de este MO responder, tiempo suficiente:

Proof that the sum of the cubes is the square of the sum

3voto

Simon Nickerson Puntos 17147

¿Encontré este pero lamentablemente no lo entiendo, alguien puede explicar el método?

Editar:

Este tiene la misma prueba pero mucho más fácil de entender. También se encuentra en el enlace por QY

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