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En la "familiaridad" (o Cómo evitar que "va por el de Matemáticas Agujero del Conejo"?)

Cualquier persona tratando de aprender matemáticas por su cuenta ha tenido la experiencia de "ir abajo de las Matemáticas Agujero del Conejo".

Por ejemplo, supongamos que usted venir a través de la novela plazo de espacio vectorial, y desea aprender más acerca de él. Puedes buscar varias definiciones, y todos ellos se refieren a algo que se llama un campo. Así que ahora te vas a aprender lo que es un campo es, pero es la misma historia otra vez: todas las definiciones que encontramos se refieren a algo que se llama un grupo. Off para aprender acerca de lo que un grupo de es. Ad infinitum. Eso es lo que yo llamo aquí "ir por las Matemáticas Agujero del Conejo."

Tras el primer encuentro con la situación descrita arriba, uno puede pensar: "bueno, si eso es lo que se necesita para aprender acerca de los espacios vectoriales, entonces voy a tener que acostumbrar, y hacerlo". He elegido este ejemplo en particular, sin embargo, porque estoy seguro de que el curso de acción que se prevé es que no es sólo ardua: el hecho es que está totalmente equivocado.

Puedo decir con confianza, para este caso en particular, gracias a la serendipia experiencia personal. Resulta que, por suerte para mí, algún tipo de cálculo profesor en la universidad me dio la pista para tomar un curso de álgebra lineal (algo que yo nunca he pensado en mi propia), y por lo tanto tuve el lujo de aprendizaje sobre espacios vectoriales sin tener que adentrarse en la temida MRH. Hice bien en esta clase, y tiene un buen alcance intuitivo de espacios vectoriales, pero incluso después de que yo había estudiado para mis exámenes finales (y no digamos el primer día de clase), no lo podría haber dicho lo que es un campo que era. Por lo tanto, desde mi experiencia, y la de casi todos mis compañeros de clase, yo que uno no necesita saber mucho acerca de los campos para conseguir la caída de espacios vectoriales. Todo lo que uno necesita es un familiaridad con algunas de campo ($\mathbb{R}$, por ejemplo).

Ahora, es difícil de definir con más precisión lo que esta familiaridad cantidades. La única cosa que puedo decir al respecto es que se trata de un estado en algún lugar entre, y bastante distintas desde, (a) el estado de derecho después de la lectura y la comprensión de la definición de lo que sea que uno quiere aprender acerca de (digamos, "espacios vectoriales"), y (b) el estado de derecho después de (digamos) de sobresalir en un nivel de posgrado puro curso de matemáticas en el tema.

Aún más difícil de definir esta familiaridad es contar con una eficiente manera de alcanzarlo...

Me gustaría pedir a todas las matemáticas autodidacts leyendo esto: ¿cómo se puede evitar caer en las Matemáticas Agujero del Conejo? Y más específicamente, ¿cómo se forma eficiente de alcanzar la suficiente familiaridad con el pre-requisito conceptos de pasar a los temas que usted quiere aprender acerca de?

PS: John von Neumann, presuntamente, una vez dijo: "Joven, en matemáticas no entender las cosas. Usted acaba de acostumbrarse a ellos." Creo que este "acostumbrarse a las cosas" es mucho más de lo que estoy llamando a la familiaridad de arriba. El problema del aprendizaje de las matemáticas de manera eficiente , a continuación, convierte el problema de la "acostumbrarse a las cosas" rápidamente.

EDIT: Varias respuestas y comentarios han sugerido el uso de libros de texto en lugar de, por ejemplo, la Wikipedia, para aprender matemáticas. Pero los libros de texto suelen tener el mismo problema. Hay excepciones, como Gilbert Strang libros, que en general, evitar tecnicismos y en lugar de centrarse en la imagen grande, y de hecho, son ideales introducción a un tema, pero son extremadamente raros. Por ejemplo, como ya he mencionado en uno de los comentarios, he estado buscando un libro de introducción en homotopy teoría que se centra en la imagen grande, fue en vano; todos los libros que he encontrado de cerdas con tecnicismos desde el ir: Hausdorff este, localmente compacto que, bla, bla...

Estoy seguro de que cuando uno matemático pide a otro para una introducción a algunos de la rama de las matemáticas, en los que ésta no empieza a arrojar todos estos formal de tecnicismos, pero en cambio da un panorama de la cuenta, basado en ejemplos sencillos. Deseo de los autores de libros de matemáticas a veces escribía libros de una forma informal de la vena. Tenga en cuenta que no estoy hablando aquí de los libros escritos para las matemáticas-phobes (de hecho, yo detesto cuando un libro de matemáticas adopta un condescendiente "para dummies", "vamos-no-alevines-nuestro-poco-cerebros-ahora" tono). Informal no significa "atontada". Hay una enorme brecha en el aprendizaje de matemáticas de la literatura (al menos en inglés), y no puedo entender por qué.

(Por CIERTO, me alegro de que MJD traído hasta Strang del Álgebra Lineal libro, porque es un ejemplo concreto de que la muestra no es imposible escribir un exitoso libro de matemáticas que se queda en la imagen grande, y no preocuparte por tecnicismos. Va sin decir que yo no estoy abogando por que todos los libros de matemáticas se escriben de esta manera. Atención a esos detalles técnicos, la precisión y el rigor son esenciales para hacer matemáticas, pero se puede fácilmente abrumar a una clase de introducción a la exposición.)

161voto

zir0faive Puntos 11

Su ejemplo me hace pensar en los gráficos.

Imaginar algo bonito, útil compañeros de vino, e hizo un gran gráfico de cada concepto matemático nunca, donde cada concepto es un nodo y conceptos relacionados están conectados por aristas. Ahora usted puede tomar una copia de este gráfico, y el color de cada nodo verde, dependiendo de si "saben" que el concepto (incógnitas puede ser de color gris).

Cómo definir "saber"? En este caso, cuando alguien menciona que el concepto, mientras que hablar de algo, hacer que uno se sienta confundido y dan ganas de buscar el concepto? Si no, entonces usted sabe que (curiosamente, usted puede estar engañando a sí mismo al pensar que usted sabe algo que usted completamente malinterpretar, y sería clasificado como "saber" con base en esta regla, pero que está bien y voy a explicar por qué en un poco). Para los efectos de determinar si "saben" lo que, tratar de asumir que la cosa en particular que la persona que está hablando no es un intrincado argumento de que depende de los detalles oscuros del concepto o extrañas interpretaciones - es que acabo de mencionar con total naturalidad, como un comentario tangencial.

Cuando usted está estudiando un tema, que son, básicamente, recogiendo una gris nodo y tratando de color verde. Pero usted puede descubrir que para hacer esto, usted debe colores adyacentes gris nodos de primera. Así, en el momento de descubrir un requisito previo nodo, no vaya a color de inmediato, y poner el tema original en espera. Pero este nodo también tiene requisitos previos, así que pongo esto en espera, y... Lo que está haciendo es conocida como la profundidad de búsqueda en primer lugar. Es natural que se sienta como un agujero de conejo - usted está tratando de ir tan profundo como sea posible. La esperanza es que tarde o temprano se va a ejecutar en una pared de la verdura, que es cuando su larga, ardua búsqueda le han dado sus frutos, y se llega a sentir que la única prisa de volver a subir a la pila con su pequeña joya de la recursividad de terminación valor de retorno.

Luego de llegar de nuevo a la coloración de su nodo original y averiguar sobre el otro requisito, por lo que ahora usted puede hacer todo de nuevo.

DFS es adecuado para algunas aplicaciones, pero es malo para otros. Si su objetivo es el color de todo el gráfico (es decir. aprender todos de matemáticas), cualquier estrategia tendrá que visitar el mismo número de nodos, por lo que no importa mucho. Pero si usted no está seriamente tratando de aprender todo lo que haga ahora, DFS no es la mejor opción.

Así, la solución a tu problema es sencillo de uso más apropiado del algoritmo de búsqueda!

Inmediatamente evidente es la búsqueda en anchura. Esto significa que, cuando la lectura de un artículo (o página, o capítulo de libro), no hay que salir corriendo a buscar cada nuevo término tan pronto como usted lo ve. Círculo o hacer una nota de ello en un documento separado, pero la fuerza de sí mismo para terminar su texto, incluso si su completamente incomprensible para usted sin conocer el nuevo plazo. Ahora usted tiene una lista de los requisitos previos de los nodos, y se puede tratar con ellos de forma más organizada.

En comparación con el DFS, esto ya se hace mucho más fácil para evitar desvirtuar demasiado lejos de su área original de interés. También tiene otro beneficio que no es común en la realidad de los problemas de gráfico: Frecuencia en matemáticas, y en general, la comprensión es cooperativa. Si usted tiene un concepto que ha requisito previo concepto B y C, usted puede encontrar que B es muy difícil de entender (lleva a un profundo agujero del conejo), pero sólo si usted todavía no sabe el muy fáciles de tema C, que si se hacen B muy fácil "conseguir" porque rápidamente averiguar el saliente y puntos relevantes (o puede ser que sabiendo ya sea B o C es suficiente para aprender). En este caso, usted realmente no quiere tener una estrategia de aprendizaje que no asegúrese de que usted haga C antes de la B!

BFS no sólo permite explotar cooperativities, sino que también le permite administrar mejor tu tiempo. Después de la primera pasada, digamos que terminó con una lista de 30 temas que usted necesita para aprender de primera. No todos sean igual de duro. Tal vez de 10, le llevará 5 minutos de desnatado de la wikipedia para averiguar. Tal vez otros 10 son tan simples, que la primera Imagen de Google diagrama explica todo. Entonces, hay 1 o 2 que va a tardar días o incluso meses de trabajo. Usted no quiere que se tropezó en los grandes mientras que los que tienen los pequeños a cuidar. Después de todo, lo que puede resultar que el gran tema no es esencial, pero el pequeño tema. Si ese es el caso, se sentiría muy tonto si se trató de abordar el gran tema de primera! Pero si el pequeño resulta inútil, realmente no has perdido la mayor parte de la energía o el tiempo.

Una vez que usted está haciendo BFS, que también podría beneficiarse de la otra, muy agradable e inteligente giros en él, tales como Dijkstra o Un*. Cuando usted tiene la lista de temas, puede pedirlos por lo prometedor que se parecen? Las posibilidades son que usted puede, y las posibilidades son, tu intuición estará a la derecha. Otra cosa que hay que hacer - ya que en última instancia, su objetivo es el de establecer vínculos con algo de verde, nodos, ¿por qué no tratar de priorizar los temas que se parecen como sería llegar más cerca de las cosas ¿sabes? La belleza de Un* es que estas heurísticas incluso no tiene que ser muy correcto - incluso "mal" o "poco realista" heurística puede terminar de hacer su búsqueda más rápida.

114voto

MJD Puntos 37705

Usted no aprender lo que un espacio vectorial es por la ingestión de una definición que dice

Un espacio vectorial $\langle V, S\rangle$ es un conjunto $V$ y un campo de $S$ que cumplir con los siguientes 8 axiomas: ...

O al menos yo no, y desde el sonido de las cosas que no está trabajando para usted. Esa definición es para alguien que no sólo ya sabe lo que es un campo, sino que además, ya sabe lo que es un espacio vectorial es, y para quien la declaración formal puede iluminar lo que ya saben.

En cambio, si usted desea aprender lo que un espacio vectorial es, recoger primaria libros de texto de álgebra lineal y comenzar a leer. Me cogió de Álgebra Lineal y sus Aplicaciones (G. Strang, 1988) desde el siguiente a la cama ahora mismo, y me parece que el "espacio vectorial" no está definido aún. La primera página del capítulo 2 ("Espacios Vectoriales y Ecuaciones Lineales"), se introduce la idea de manera informal, apoyado en gran medida en el ejemplo de $\Bbb R^n$, que ya se introdujo en el Capítulo 1 y, a continuación, hace hincapié en la importancia crucial de la propiedad: "podemos añadir cualquiera de los dos vectores, podemos multiplicar los vectores por escalares." La siguiente página reitera esta idea: "un verdadero espacio vectorial es un conjunto de "vectores" junto con las reglas para la adición de vectores y la multiplicación por números reales." Luego siguen tres ejemplos que son diferentes de las $\Bbb R^n$ ejemplos.

Un buen libro de texto va a hacer esto: reducirá los 8 axiomas a una breve exposición de lo que los axiomas son realmente acerca de, y proporcionar un conjunto de iluminar ejemplos. En el caso de que el espacio vectorial, la breve declaración que yo he citado, negrita en el original, fue: podemos añadir cualquiera de los dos vectores, podemos multiplicar los vectores por escalares.

Usted no necesita saber lo que un campo es comprender nada de esto, porque es restringido a real de espacios vectoriales, en lugar de espacios vectoriales sobre arbitraria campos. Pero te da a entender la idea en toda su generalidad una vez que descubre lo que un campo es: "igual que los espacios vectoriales que estás acostumbrado, excepto que en lugar de los escalares ser números reales, que pueden ser elementos de cualquier campo".

Si usted se encuentra persiguiendo a una interminable serie de definiciones, eso es porque usted está tratando de aprender matemáticas de una matemática de la enciclopedia. Bien, vale la pena intentarlo; trabajó para Ramanujan. Pero si usted encuentra que usted no está Ramanujan, usted puede tratar de lo que el resto de nosotros no Ramanujans hacer, y tratar de leer un libro de texto en su lugar. Y si el libro de texto comienza diciendo algo como:

Un espacio vectorial $\langle V, S\rangle$ es un conjunto $V$ y un campo de $S$ que cumplir con los siguientes 8 axiomas: ...

entonces eso significa que por error ha apoderado de un libro que fue escrito para personas que ya saben lo que es un espacio vectorial es, y que usted necesita para poner a un lado y otro. (Esto no es una broma; existen muchos libros.)

El Strang libro es realmente bueno, por cierto. Se los recomiendo.

Una última nota: no Es normalmente suficiente para leer el libro; usted tiene que hacer un montón de ejercicios también.

87voto

ksaunam Puntos 86

Un muy bien conocido matemático me mostró cómo se evita el agujero del conejo. He copiado su método, y ahora puedo permanecer fuera de él la mayoría del tiempo.

Me había privado de seminarios semanales con él. Cada semana, iba a la investigación de un tema que él no sabía nada acerca de (lo que era de nuestro negocio y eso era lo que estaba en él para él). Me gustaría nombre del tema (ejemplos: Bloom Filtros, Knuth-Bendix Teorema, la Lógica Lineal), y a la semana siguiente le daría un cero lujos presentación Power Point de lo que encontró. Las presentaciones tuvieron un patrón uniforme:

Motivating Example
Definitions
Lemmas and Theorems
Applications

Al comenzar con un ejemplo muy motivador, nunca se perdió en la espesura de los tecnicismos y las Aplicaciones de la sección de un círculo y explicar la Motivación Ejemplo (y tal vez algunos otros, si el tiempo lo permite) en términos de los aspectos técnicos.

Esta es la forma en que él se enseñó a sí mismo un tema sin bajar el MRH.

Limit your rabbit-hole time (one week)
your presentation must be one hour long
Focus on a Motivating Example
do just enough technicalities to explain the example and optional variations

Desde entonces he copiado este estilo. Cuando enseño a mí mismo un nuevo tema, tengo que hacer una presentación de diapositivas como eso, y luego me presente a los demás semanal en un grupo de lectura.

25voto

Shery Puntos 16

Creo que a veces, no realmente necesitan saber exactamente lo que cada término utilizado en los medios, no de inmediato, de todos modos. La mayoría de las veces, una vaga idea es suficiente para empezar.

Echa un vistazo a la definición (sin necesariamente comprender que en la primera-arar a través de un gran lío de una definición formal no siempre es útil en este punto, pero ayuda a ver su estructura general), entonces a ver algunos ejemplos, trastear un poco, a ver cómo funciona. Si yo contara todo acerca de montar a caballo por un mes, probablemente no sería tan bueno en el montar a caballo como lo haría si usted, en cambio, trató de practica equitación para una semana (y no sólo porque yo no sabía nada acerca de equitación ;) ).

A medida que te adentras en la materia, podría ayudar a comprender los detalles de las definiciones, así como los objetos auxiliares. ¿Para qué son? ¿Qué es lo que realmente quiere decir? Pero en primer lugar, usted no debe esperar para entender todo, especialmente a la hora de estudiar más en profundidad de las cosas que (a diferencia de los espacios vectoriales) se puede obtener realmente profundo en... el agujero del conejo.

La familiaridad viene con la experiencia. No hay otra manera.

Como un comentario acerca de sus espacios vectoriales ejemplo: no creo que realmente se puede entender álgebra lineal si se limite a las reales. Tienen la característica cero, no son algebraicamente cerrado, son naturalmente ordenado... esto puede ser muy engañoso. Es bueno para empezar, pero yo no diría que entender espacios vectoriales si usted acaba de entender real de espacios vectoriales.

21voto

Andreas Blass Puntos 33024

Es una buena idea para aprender acerca de los espacios vectoriales en primer lugar en el contexto de la real escalares en lugar de general campos. Pero después de esto, vale la pena observar que, en la mayoría de lo que has aprendido (de todo, menos de producto interior espacios, habitual en las presentaciones de la asignatura), que nunca utilizó el hecho de que los números reales vienen con un orden; que nunca se necesitan para considerar si los números son positivos o negativos. Y para algunos propósitos, como autovalores y autovectores, es realmente útil para permitir a los números complejos en su imagen. De hecho, todo lo que necesita acerca de los números reales es que se puede sumar, restar, multiplicar y dividir con ellos (excepto, por supuesto, que no se puede dividir por $0$) y puede manipular ecuaciones como usted aprendió en la escuela elemental de álgebra. Es por eso que es seguro para permitir que los números complejos en su imagen --- comparten todos aquellos esenciales (para álgebra lineal) de las propiedades de los números reales. Y en este punto, usted sabe lo que es un campo es, incluso si usted nunca ha visto la definición o incluso la palabra, ya que un campo es un conjunto de cosas que se asemejan a los números en la medida en que se puede sumar, restar, multiplicar y dividir con ellos (excepto, por supuesto, que no se puede dividir por $0$) y puede manipular ecuaciones como usted aprendió en la escuela elemental de álgebra. La parte formal de axiomas que definen el "campo" son simplemente el resultado de la observación de que todas esas reglas algebraicas que has aprendido son las consecuencias de algunas de las normas; es decir, la mayoría de ellos son redundantes. Así, "campo" puede ser definido por dar sólo las normas necesarias, no todos los redundante. Por supuesto, que hace que sea más fácil comprobar que algo es un campo, debido a que tienen menos reglas para verificar, y también hace que sea más fácil escribir la definición de "campo" en un libro, porque es más corto que de otra manera sería. Pero la verdadera idea de "campo", siendo que todos los habituales manipulaciones de ecuaciones son válidas.

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