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Pedagogía: ¿Cómo curar a los estudiantes de la "ley universal de la linealidad"?

Uno de los más comunes de los errores cometidos por los estudiantes, que aparecen en cada nivel de matemáticas de la enseñanza hasta los primeros años de la licenciatura, es la llamada "Ley de la Linealidad":

$$ \frac{1}{a+b} \mathrel{\text{"="}} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $$

$$ 2^{-3} \mathrel{\text{"="}} -2^3 $$

$$ \sin (5x + 3y) \mathrel{\text{"="}} \sin 5x + \sin 3y$$

y así sucesivamente. De forma algo más precisa, lo llamaría: la tendencia a viajar, o distribuir las operaciones a través de cada uno de los otros, sin ni siquiera darse cuenta de que lo están haciendo nada, excepto para las operaciones donde se han específicamente aprendido a no hacerlo.

¿Alguien tiene una buena cura para esta particularmente clara y memorable explicación que se quede con los estudiantes?

He tratado de explicar de varias maneras, pero nunca había encontrado un enfoque que yo estaba muy contento con el, desde un punto de vista pedagógico.

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goblin Puntos 21696

Creo que esto es un síntoma de cómo se enseña a los estudiantes de álgebra básica. En vez de decirle explícita axiomas como $a(x+y)= ax+ay$ y teoremas como $(x+y)/a = x/a+y/a,$ de los estudiantes son bombardeados con ejemplos de cómo estos axiomas/teoremas se utilizan, sin ser explícitamente dijo: bueno, aquí está una nueva regla que usted está autorizado a utilizar a partir de ahora. Es así que tipo de ala. Aprenden a adivinar.

Así que la solución, en realidad, es para enseñar el material adecuadamente. Claro que $a(x+y)=ax+ay$ es una verdad (tal vez se derivan de un argumento geométrico). Luego de dejar claro cómo el uso de tales verdades: por ejemplo, podemos deducir que $3 \times (5+1) = (3 \times 5) + (3 \times 1)$. También podemos deducir que $x(x^2+1) = xx^2 + x 1$. Luego de dejar claro cómo utilizar esas verdades. Por ejemplo, si tenemos una expresión de la posesión de $x(x^2+1)$ como una subexpresión, nos permite reemplazar este subexpresión por $x x^2 + x 1.$ La nueva expresión obtenida de esta manera se garantiza la igualdad de la original, porque hemos sustituido una subexpresión con igual subexpresión.

Tal vez tener una hoja de trampas en línea, de todas las verdades que a los estudiantes se les permite usar hasta ahora, que se actualiza con más verdades a medida que la clase avanza.

Creo que, si se le enseñan de esta manera, los estudiantes aprenderán a confiar en que si una regla (la verdad, lo que sea) no ha sido explícitamente por escrito, luego de su falso o, al menos, no es estrictamente necesario para resolver los problemas a mano. Esto debería curar la mayoría de los casos de universal linealidad.

131voto

sq1020 Puntos 143

Mi interacción con los estudiantes (no matemáticamente inclinados, en los Estados unidos) me ha llevado a sospechar que por alguna razón no se les enseña a los siguientes dos importantes ideas.

  1. Expresiones matemáticas tienen un significado.
  2. La validez de una regla para la manipulación de expresiones matemáticas es determinado por lo que aquellas expresiones que significan. En particular, las reglas son derivados a partir de lo que las expresiones significan.

La comprensión de estas dos ideas, me parece, es la clave de la diferencia entre los estudiantes que "get it" (es decir, las que simplemente se hacen las cosas correctamente y de sus errores generalmente se reducen a no darse cuenta de algo) frente a los que no "get it" (que sólo así como se puede memorizar un montón de aburrido, arbitraria aparente de las reglas).

En consecuencia, soy de la opinión de que la búsqueda de

una muy clara y memorable explicación [de cuando una determinada regla es aplicable] que se quede con los estudiantes

no es el enfoque correcto para este problema (por desgracia, dada la estructura y expectativas de los sistemas educativos . La triste realidad (como yo lo percibo) es que para la mayoría de los (Estados Unidos), los estudiantes, las matemáticas son el arte de la manipulación de extraño, sin sentido cadenas de símbolos de acuerdo con igual de extraño y de excepción lleno de reglas que apenas tienen la capacidad mental para recordar. En esencia, el tipo de contenido que los estudiantes parecen enseña, parece mucho más apropiado para los de mente simple, inhumana precisa equipo, que un ser humano, con la capacidad de razonar.

Esta es la razón por la que no importa cuánto nos ilustran y explican las normas, ellos deben mantener abusar de ellos: de lo que se pierde no es explicaciones o ilustraciones, pero la habilidad y el hábito mental de determinar por sí mismos si las matemáticas que están haciendo es correcto o no (que todavía es difícil para un equipo: equipo de prueba asistentes están todavía en su infancia).

Yo personalmente no tengo idea de cómo esta habilidad de hacer matemáticas derecho puede ser cultivada sin conciencia de los dos hechos anteriores, y creo que lo que separa a los estudiantes que demuestran esta habilidad es que tienen (al menos de manera implícita) la comprensión de estas dos ideas. Además, creo que la exposición de ellos, haciéndolos pensar, y hacer de ellos el uso de los significados de los símbolos que escribir, y hacerlo otra vez, y otra vez, y otra vez, y otra vez, será mucho más significativo efecto de que se les recuerda la de los ejemplos y las ilustraciones de por qué una determinada manipulación que hicieron no está permitido. El one-offs que se olvide y no sea capaz de reproducirse debido a su infrecuencia, pero la insistencia repetida sobre el uso del significado de las expresiones para establecer la validez de las manipulaciones esperamos que sea habitual para ellos.

En términos de la implementación de este en la práctica, creo que la universidad es demasiado tarde, y también es bastante difícil porque la matemática universitaria (y MADRE) cursos tienden a ser en su mayoría sobre la transmisión de grandes cantidades de aburrido contenido técnico y habilidades técnicas, dejando poco o ningún espacio para la real de las ideas o formas de pensar. Sin embargo, creo que sería un experimento interesante para que los estudiantes mantener algo parecido a un "cuaderno de vocabulario", donde se registro el significado (en contraposición a la definición formal) de los distintos tipos de expresiones que se ejecutan en. Por ejemplo, una fracción $\frac ab$ se supone que significa "un número que cuando se multiplica por $b$ da $a$"; es breve y esclarecedor trabajo de averiguar a partir de esto (usando la distributividad de la multiplicación sobre la adición, que sin duda queremos números para satisfacer a) que $\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}$, que no hay ningún número entiende por $\frac a0$, $\frac00$ puede significar cualquier número). Por supuesto, esto presupone que alguien se toma el tiempo y se asegura de que el idioma en que estos significados se explican es coherente, por lo que sería un montón de trabajo para el diseño de un curso en torno a este método.


Yo lo hice, de hecho, una vez correctamente desengañar a(n Honores Cálculo) estudiante de "la Ley de la Linealidad" el uso de estas ideas. El caso particular de que se trate de la manipulación de la secuencia de Fibonacci, y el estudiante había cometido el error de escribir algo como $F_x+F_x=F_{2x}$. Lo que yo hice, es explicar las cosas de arriba y tenía el estudiante aplicarlos al analizar el significado de las diversas expresiones que él había escrito era, y, a continuación, preguntar si la igualdad se justifica basándose en lo que él sabía de las expresiones de significado. Que parecía hacer una impresión en el estudiante, pero personalmente creo que fue una impresión hecha diez años demasiado tarde...

61voto

Seub Puntos 2386

(Este es un lugar "suave" respuesta!)

Creo que no hay una solución a esto.

En mi experiencia, el problema es que las matemáticas principiantes, no entender y asimilar leyes formales: están de acuerdo en que $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ (porque "$2ab$ falta"), pero ellos no tienen ningún problema en escribir $(x + 3)^2 = x^2 + 3^2$ dos minutos más tarde.

La única "solución" es tomar el dinero de ellos / golpeado cada vez que uso la "ley universal de la linealidad", pero se necesitan años para tener algún efecto (y gana miles de dólares)

46voto

Vicky Puntos 3303

Yo tenía un profesor en la universidad que era muy aficionado a la repetición de frases como "El Flarn de la Klarp es el Klarp de la Flarn" y "El Flarn de la Klarp es el Twarble de la Flarn." Yo creo que estos son de Lewis Carroll. Pero la forma en que fueron incorporados en la conferencia fue como una llamada-y-respuesta.

Por ejemplo, el maestro podría fuego rápido a las preguntas en la audiencia de estudiantes, tales como "El producto de la suma es la suma de los productos?", seguido por "La derivada de la suma es la suma de la derivada?", seguido por "El producto de los registros es el registro de los productos?" Sólo de ver si los estudiantes entrar en un patrón de decir "sí.. sí.." y luego golpear con algo en que pensar. Puedo imaginar que este trabajando con funciones trigonométricas así.

Este profesor también de forma rutinaria el uso de pequeñas imágenes dibujadas a mano en lugar de variables como x o y. Por ejemplo, aprendí acerca de la expansión en series de Taylor de "e-a-la-perrito" la suma de "perrito-a-la-n-sobre-n factorial". Nosotros del mismo modo, habló sobre el momento de la generación de funciones como "e-a-la-árbol-x" con un poco de árbol dibujado en donde la transformación de la variable (por lo general, t o s) iba a ir, y entonces, el momento de generación de la función de dominio fue el "árbol de dominio", ya que la variable independiente no.

Sé que esto suena ridículo, pero el muchacho hizo el trabajo. Después de un par de semanas de aclimatación de la gran extrañeza de que, realmente comenzó a tomar el concepto de variables de desaparecer. En lugar de fijarse en el porqué de ciertas raro no-número de símbolos x como se muestra arriba, se tuvo que mantener en el trasero porque podría ser un poco tulipán o una boca de incendios en la prueba y se supone que para resolver ecuaciones y otras cosas. Era como no había tiempo para ser confundido acerca de símbolos, porque la pura caprichosa arbitrariedad de lo que los símbolos pueden ser obligados a comprender cómo manipular a cualquier símbolo, que fue el punto entero.

Esto era para un primer curso de cálculo basado en la probabilidad, y, finalmente, empezamos a hablar de cosas como la varianza, la cual, a continuación, naturalmente, se convirtió en una discusión acerca de cómo Var(X) = E[X^2] - E[X]^2 está totalmente de un tipo de medición de la "no-desplazamientos-ness" entre el cuadrado de la operación y de la expectativa de operación. Así, mientras E[X] es lineal (es decir, la flarn de la klarp es el klarp de la flarn), para la varianza esto no es cierto a menos que sea un Dirac variable con ninguna variación. Para todo lo demás, una medida de tendencia central, es decir "la flarn de la klarp menos el klarp de la flarn es igual a ..." para saber cuán lejos está de las operaciones de desplazamientos de unos con otros.

No estoy seguro de si esto iba a funcionar con clases donde aptitudes varían considerable, o cuando existen limitaciones de tiempo para golpear a los materiales en el tiempo para una prueba estandarizada. Y ciertamente es raro y requiere una gran confianza en que el profesor (el profesor que enseñaba a este, para mí, fue un veterano de Vietnam que realmente no le importa un comino acerca de lo que los estudiantes o de la administración que pensaba de él... él era un poco como el personaje de Walter Sobchak de El Gran Lebowski en realidad). Pero parecía ser muy eficaz en mi clase y fue uno de los grandes hitos en mi propio estudio de las matemáticas, donde fui de simplemente saber cómo calcular las cosas cuando se administra problema de set-ups para realmente tratando de suss conexiones más profundas, analogías, modelos, etc.

37voto

Serra South Puntos 1168

TL;DR: Enseñar a sus estudiantes que la "distribución", a través de la adición de sólo funciona con la multiplicación sobre la adición, y nada más (lo que importa en este punto de su educación, al menos), y tal vez mostrar ejemplos como los de $(a+b)/c = a/c + b/c$ que mezcla diferentes operaciones para poner las cosas en claro.

Respuesta larga: yo, personalmente, he pensado mucho sobre esto, y lo que realmente ha llegado a la habitual villano, rápido, pero confuso notación. Nos enseña además como $a+b$ y la multiplicación como $a\times b$, pero pronto después de la primaria, nos caída de la $\times$ y deje $ab:=a\times b$. Estos lugares, además de en premisas diferentes de multiplicación en un nivel subconsciente de lo que es ahora un implícita de la operación, y esto conduce a un viaje ups como las que usted menciona.

Cuando uno ve la distribución de la multiplicación sobre la adición, como $a(b+c)=ab+ac$, es más fácil pseudo-generalizar esta regla a cualquier cosa, como $f(x+y)=f(x)+f(y)$ o $1/(a+b)=1/a+1/b$, ya que no son conscientes de las palabras "la multiplicación sobre la suma." Esto es debido a que la implicitación de de la multiplicación es olvidado y por lo tanto es fácil pensar que la distribución es una propiedad de la suma única, y por lo tanto se aplica cuando hay una adición.

Por supuesto que no. Por ejemplo, $(a+b)/c=a/c+b/c$ pero $a/(b+c) \ne a/b+a/c$ debido a la división de más de un campo es sólo lineal en el primer argumento, no el segundo, y por supuesto, la división no es Abelian. Usted no puede decir a sus alumnos que en este momento, así que la mejor manera es para que quede claro de cuando se trabaja en su mundo: la multiplicación sobre la adición. Para el "lineal en primer argumento" para la división, y se puede utilizar una trampa como $(a+b)/c = 1/c \times (a+b)= a/c+b/c$. En este punto, ya que no les puede enseñar básicos de álgebra abstracta, vas a tener que hacer con sólo mantenerlos rectos con el lugar donde funciona la distribución, y si están tan interesados, les dicen que van a aprender por qué un día.

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