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Demostrar que la suma de Pitágoras triples siempre es incluso

Problema: Dado $a^2 + b^2 = c^2$ muestra $a + b + c$ es siempre igual

Mi Intento, el análisis caso por Caso:

Caso 1: una es impar, b es impar. A partir de la primera ecuación,

$odd^2 + odd^2 = c^2$

$odd + odd = c^2 \implies c^2 = even$

El cuadrado de un número no cambia su congruencia mod 2.

Por lo tanto, c es aún

$ a + b + c = odd + odd + even = even$

Caso 2: una es, incluso, b es par. Parecida a la anterior

$even^2 + even^2 = c^2 \implies c$ es incluso

$a + b + c = even + even + even = even$

Caso 3: Uno de a y b es impar, el otro es incluso Sin pérdida de generalidad, que la etiqueta de una extraña, y b, ya que incluso

$odd^2 + even^2 = c^2 \implies odd + even = c^2 = odd$

Por lo tanto, c es impar

$a + b + c = odd + even + odd = even$

Hemos agotado todos los posibles casos, y cada uno muestra $a + b + c$ es incluso. QED

Seguimiento: Hay una prueba de que no se basan en el análisis caso por caso? Puede el anterior ser escrito de una manera sencilla?

143voto

Ennar Puntos 1760

Tenga en cuenta que $x^2\equiv x\pmod 2$ y por lo tanto implica la $a^2+b^2=c^2$ %#% $ #%

20voto

rtybase Puntos 430

También Pitágoras triples tienen una estructura bien definida: $$a=k(m^{2}-n^{2}),\ \,b=k(2mn),\ \,c=k(m^{2}+n^{2})$ $ y $$a+b+c=2k(mn+m^2)$ $

19voto

Sugerencia

Escriba $a+b+c=k$, por lo que

$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab= (k-c)^2-2ab=c^2 → k^2-2(kc+ab)=0→k^2=2(kc+ab)$$

18voto

j___d Puntos 503

Observe que $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=2c^2+2(ab+bc+ac)$, por lo que es el cuadrado de $a+b+c$ y $a+b+c$ es también incluso.

6voto

Cuspy Code Puntos 31

$c^2 = a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.

$2ab = (a+b)^2 - c^2$

$2ab = (a+b+c)(a+b-c)$

Que $n = a+b+c$ y lo anterior se convierte en:

$2ab = n(n-2c)$

Así el lado derecho debe ser aún, pero ya $n-2c$ es impar cuando $n$ es impar, $n$ debe ser incluso.

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