6 votos

Determinante de la matriz simétrica

Dada la siguiente matriz, ¿hay alguna forma de calcular el determinante que no sea usando laplace hasta que haya $3\times3$ ¿determinantes?

\begin{pmatrix} 2 & 1 &1 &1&1 \\ 1 & 2 & 1& 1 &1\\ 1& 1 & 2 & 1 &1\\ 1&1 &1 &2&1\\ 1&1&1&1&-2 \end{pmatrix}

10voto

Bartek Pawlik Puntos 499

Se puede restar la primera fila de cada una de las otras filas y obtener la matriz de la forma: $$\begin{pmatrix} 2 & 1 &1 &1&1 \\ -1 & 1 & 0& 0 &0\\ -1& 0 & 1 & 0 &0\\ -1&0 &0 &1&0\\ -1&0&0&0&-3 \end{pmatrix}.$$ Calcular el determinante es ahora mucho más fácil.

4voto

0plus1 Puntos 1471

Mira la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}.$$ Tiene rango dos y sus valores propios no nulos tienen suma $1$ (el rastro) y el producto $$\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = -16$$

Así que el polinomio característico es $t^3 (t^2 - t - 16)$ . Evalúe esto en $t = -1$ y se obtiene $$\det(-I - A) = (-1)^5 \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}.$$

1voto

Chris Ballance Puntos 17329

Llama a tu matriz $A$ y que $J_n$ denota la matriz todo-uno de tamaño $n$ . Por expansión de Laplace a lo largo de la última fila, tenemos \begin{align*} \det(A) &=\left(\sum_{j=1}^\color{red}{4}(-1)^{5+j}a_{5j}M_{5j} + 2M_{55}\right) - 4M_{55}\\ &=\det(I_5+J_5)-4\det(I_4+J_4). \end{align*} Como $\det(aI_n+bJ_n)=a^{n-1}(a+nb)$ obtenemos $\det(A)=6-4(5)=-14$ .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X