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¿Columna de vectores ortogonales implica también ortogonal de vectores de fila?

Si los vectores columna de una matriz $A$ son todos ortogonal y $A$ es una matriz cuadrada, se puede decir que los vectores fila de la matriz $A$ también son ortogonales entre sí?

A partir de la ecuación $Q \cdot Q^{T}=I$ si $Q$ es ortogonal y de la plaza de la matriz, parece que esto es cierto, pero todavía me resulta difícil de creer. Tengo la sensación de que puedo estar equivocado, pues los vectores columna que son perpendiculares son vectores dentro de la columna de espacio. Tomando las filas de los vectores de dar una dirección totalmente diferente de los vectores columna de la fila en el espacio y entonces, ¿cómo podrían ellos siempre resultan ser perpendiculares?

Gracias por la ayuda.

33voto

Lorin Hochstein Puntos 11816

Recordemos que dos vectores son ortogonales si y sólo si su producto interior es cero. Usted se equivoca al afirmar que si las columnas de a $Q$ son ortogonales entre sí,$QQ^T = I$; esto se deduce que si las columnas de a $Q$ forma un ortonormales conjunto (base para $\mathbb{R}^n$); ortogonalidad no es suficiente. Tenga en cuenta que "$Q$ es una matriz ortogonal" no equivale a "las columnas de a $Q$ son parejas ortogonales".

Con esa aclaración, la respuesta es que si sólo pedimos que las columnas de a pares ortogonal, entonces las filas no necesita ser ortogonal de a pares. Por ejemplo, tomar $$A = \left(\begin{array}{ccc}1& 0 & 0\\0& 0 & 1\\1 & 0 & 0\end{array}\right).$$ Las columnas son ortogonales entre sí: la columna central es ortogonal a todo (de ser el vector cero), y la primera y tercera columnas son ortogonales. Sin embargo, las filas no son ortogonales, ya que la primera y tercera filas son iguales y distinto de cero.

Por otro lado, si usted requiere que las columnas de a $Q$ ser un ortonormales conjunto (pairwise ortogonal, y el producto interior de cada columna con el sí mismo es igual a $1$), luego se hace seguir: precisamente como lo sostenemos. Esa condición es equivalente a "la matriz es ortogonal", y desde $I = Q^TQ = QQ^T$$(Q^T)^T = Q$, se deduce que, si $Q$ es ortogonal entonces es $Q^T$, por lo tanto las columnas de a $Q^T$ (es decir, las filas de $Q$) forma un ortonormales y definir así.

2voto

Matt Puntos 2318

Esta condición dice que $Q^{-1} = Q^t$. Eso significa que usted tiene $$Q^tQ = Q Q^t = I.$ $
Sí, si las filas son orthonormal (base--uy mi omisión), por lo tanto son las columnas.

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