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Una Introducción a los Tensores

Como un estudiante de física, he llegado a través de los objetos matemáticos llamados tensores en diferentes contextos. Tal vez confusamente, también me ha dado tanto el matemático y físico de la definición, que creo que son ligeramente diferentes.

Actualmente yo pienso de ellos en las siguientes formas, pero tienen un tiempo difícil conciliar los diferentes puntos de vista:

  • Una extensión/abstracción de escalares, vectores y matrices en las matemáticas.
  • Una matriz multidimensional de elementos.
  • Una asignación entre espacios vectoriales que representa la coordenada independiente de transformación.

De hecho, ni siquiera estoy seguro de cómo corregir estas tres definiciones. Hay una especialmente relevante (riguroso, incluso) definición de los tensores y sus usos, que puede ser adecuado para un físico matemático?

Respuestas directas/explicaciones, así como enlaces a buenas artículos introductorios, sería muy apreciada.

106voto

Lars Truijens Puntos 24005

Al menos para mí, es útil pensar en términos de las bases. (Sólo voy a estar hablando sobre el tensor de productos de finito-dimensional vector espacios de aquí.) Esto hace que la asignación universal propiedad de que Zach Conn habla sobre un poco menos abstracta (de hecho, casi trivial).

En primer lugar recordar que si $L: V \to U$ es lineal en el mapa, a continuación, $L$ está totalmente determinado por lo que hace a una base $\{ e_i \}$$V$: $$L(x)=L\left( \sum_i x_i e_i \right) = \sum_i x_i L(e_i).$$ (Los coeficientes de $L(e_i)$ en una base para $U$ da $i$ésima columna en la matriz de $L$ con respecto a las bases dadas.)

Los tensores aparecen en la imagen cuando uno estudia multilinealmapas. Si $B: V \times W \to U$ es un bilineal mapa, $B$ está totalmente determinado por los valores de $B(e_i,f_j)$ donde $\{ e_i \}$ es una base para $V$ y $\{ f_j \}$ es una base para $W$: $$B(x,y) = B\left( \sum_i x_i e_i,\sum_j y_j f_j \right) = \sum_i \sum_j x_i y_j B(e_i,f_j).$$ Por simplicidad, consideremos el caso en particular, cuando $U=\mathbf{R}$; a continuación, los valores de $B(e_i,f_j)$ conforman un conjunto de $N=mn$ números reales (donde $m$ $n$ son dimensiones de $V$$W$), y estos números son todo lo que necesitamos para mantener pista para saber todo acerca de la bilineal mapa de $B:V \times W \to \mathbf{R}$.

Observe que en el fin de calcular las $B(x,y)$ realmente no necesitamos saber el vectores individuales $x$$y$, sino el $N=mn$ números de $\{ x_i y_j \}$. Otro par de vectores $v$ $w$ $v_i w_j = x_i y_j$ todos los $i$ $j$ va a satisfacer $B(v,w)=B(x,y)$.

Esto conduce a la idea de dividir el cálculo de $B(x,y)$ en dos etapas. Tomar una $N$-dimensional espacio vectorial $T$ (todos son isomorfos así que no importa que tomaremos) con una base $(g_1,\dots,g_N)$. Dado $x=\sum x_i e_i$$y=\sum y_j f_j$, primera forma el vector en $T$ cuyas coordenadas respecto a la base $\{ g_k \}$ son dados por el vector columna $$(x_1 y_1,\dots,x_1 y_m,x_2 y_1,\dots,x_2 y_m,\dots,x_n y_1,\dots,x_n y_m)^T.$$ A continuación, ejecute este vector a través del lineal mapa de $\tilde{B}:T\to\mathbf{R}$ cuya matriz es el vector fila $$(B_{11},\dots,B_{1m},B_{21},\dots,B_{2m},\dots,B_{n1},\dots,B_{nm}).$$ Esto le da, por construcción, $\sum\sum B_{ij} x_i y_j=B(x,y)$.

Vamos a llamar el espacio de $T$ el producto tensor de los espacios vectoriales $V$ $W$ y se denota por a $T=V \otimes W$; "es definido de forma exclusiva hasta el isomorfismo", y sus elementos se llaman tensores. El vector en $T$ que se formaron a partir de $x\in V$ $y\in W$ en la primera etapa de arriba será denotado $x \otimes y$; es un "bilineal mezcla" de $x$ $y$ que no nos permiten reconstruir $x$ $y$ individualmente, pero todavía contiene exactamente toda la información necesaria a fin de calcular las $B(x,y)$ para cualquier bilineal mapa de $B$; tenemos $B(x,y)=\tilde{B}(x \otimes y)$. Esta es la "característica universal"; cualquier bilineal mapa de $B$ $V \times W$ puede ser calculada mediante la adopción de un "desvío" por $T$, y este desvío es único, ya que el mapa de $\tilde{B}$ se construye únicamente a partir de los valores de $B(e_i,f_j)$.

Para poner en orden esto, a uno le gustaría asegurarse de que la definición es base independiente. Es una manera de comprobar que todo se transforma correctamente en el marco de los cambios de bases. Otra forma es hacer la construcción mediante la formación de un espacio mucho más grande y tomar un cociente con respecto a relaciones adecuadas (sin mencionar jamás bases). Entonces, por desentrañar las definiciones de cada uno ejemplo demuestra que una bilineal mapa de $B:V \times W \to \mathbf{R}$ puede ser canónicamente identificado con un elemento del espacio de $V^* \otimes W^*$, y doblemente un elemento de $V \otimes W$ puede ser identificado con un bilineal mapa de $V^* \times W^* \to \mathbf{R}$. Sin embargo, otros autores encuentran que este conveniente partir de punto, de modo que en lugar de definir $V \otimes W$ a ser el espacio de bilineal mapas $V^* \times W^* \a \mathbf{R}$. Así que no es de extrañar que uno puede llegar a ser un poco confundido cuando se trata para comparar las diferentes definiciones...

75voto

Omar Kooheji Puntos 384

En matemáticas, los tensores son uno de los primeros objetos encontrados que no se puede entender sin su acompañante universal de asignación de la propiedad.

Antes de hablar acerca de los tensores, uno necesita hablar sobre el producto tensor de espacios vectoriales. Usted probablemente ya está familiarizado con la suma directa de espacios vectoriales. Esta es una operación de adición en los espacios. El producto tensor proporciona una operación de multiplicación de espacios vectoriales.

La característica clave del producto tensor es que se sustituye bilineal mapas en un producto cartesiano de espacios vectoriales con lineal mapas del tensor de producto de los dos espacios. En esencia, si $V,W$ son espacios vectoriales, hay un bijective correspondencia entre el conjunto de bilineal mapas en $V\times W$ (a cualquier destino en el espacio) y el conjunto de los lineales de los mapas en $V\otimes W$ (el producto tensor de $V$$W$).

Esto puede ser formulada en términos de una asignación universal de la propiedad. Dado espacios vectoriales $V,W$, un producto tensor $V\otimes W$ $V$ $W$ es un espacio junto con un mapa de $\otimes : V\times W \rightarrow V\otimes W$ tal que para cualquier espacio vectorial $X$ y cualquier bilineal mapa de $f : V\times W \rightarrow X$ existe una única lineal mapa de $\tilde{f} : V\otimes W \rightarrow X$ tal que $f = \tilde{f}\circ \otimes$. En otras palabras, cada bilineal mapa sobre el producto cartesiano de los factores de forma exclusiva a través del producto tensor.

Se puede demostrar utilizando un argumento básico de que el tensor de producto es único hasta el isomorfismo, por lo que se puede hablar de "el" producto tensor de dos espacios en lugar de "un" producto tensor, como hice en el anterior párrafo.

Un tensor es sólo un elemento de un producto tensor.

Uno debe demostrar que un producto tensor existe. La construcción estándar es tomar el libre espacio vectorial sobre $V\times W$ e introducir diversas bilinearity relaciones. Ver mi enlace en la parte inferior para un artículo que hace esto de forma explícita. En mi experiencia, sin embargo, la clave es ser capaz de utilizar el mapeo de la propiedad; la particular construcción no importa mucho en el largo plazo. El mapa de $\otimes : V\times W \rightarrow V\otimes W$ envía el par $(v,w) \in V\times W$$v\otimes w \in V\otimes W$. La imagen de $\otimes$ es el espacio de los llamados tensores elementales, pero un elemento general de la $V\otimes W$ es no elemental, tensor, sino más bien una combinación lineal de primaria de los tensores. (De hecho, debido a bilinearity, es suficiente decir que un tensor general es una suma de primaria tensores con los coeficientes de todo ser 1.)

La mayoría de los genéricos razón por la que los tensores son útiles es que el producto tensor es una máquina para la sustitución de bilineal de mapas lineales. En gran parte de las matemáticas y la física, uno trata de encontrar aproximaciones lineales de las cosas; los tensores, puede ser visto como una herramienta para esto, aunque exactamente cómo logran es menos claro que el de muchas otras herramientas de la misma vena. Aquí hay algunas razones específicas por las que son útiles.

Para finito de espacios dimensionales $V,W$, el producto tensor $V^*\otimes W$ es isomorfo al espacio de homomorphisms $\text{Hom}(V,W)$. Así que en otras palabras, cada lineal mapa de $V \rightarrow W$ tiene un tensor de expansión, es decir, una representación como un tensor en $V^* \otimes W$. Por ejemplo, si $\{v_i\}$ es una base de $V$ $\{x_i\}$ es la base dual de $V^*$, $\sum x_i \otimes v_i \in V^* \otimes V$ es un tensor de la representación de la identidad mapa en $V$.

Tensor de productos tienden a aparecer en una gran cantidad de lugares inesperados. Por ejemplo, en el análisis de las representaciones lineales de un grupo finito, una vez que el irreductible representaciones se sabe de que puede ser de beneficio para construir también un "producto tensor de la tabla", el que se descompone el tensor de productos de todos los pares de representaciones irreducibles directa sumas de representaciones irreducibles.

En física, a menudo se habla de un rango de $n$ tensor de ser un conjunto de números que se transforman en cierta forma bajo cambios de coordenadas. Lo que uno es realmente describir aquí todas las diferentes coordinar las representaciones de un resumen del tensor en un tensor de energía $V^{\otimes n}$.

Si uno se toma la suma directa de todos tensor de poderes de un espacio vectorial $V$, se obtiene el tensor de álgebra $V$. En otras palabras, el tensor de álgebra es la construcción de la $k\oplus V\oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus \dots$ donde $k$ es el campo base. El tensor de álgebra es, naturalmente, gradual, y que admite varias extremadamente útil cociente de álgebras, incluyendo el bien conocido exterior álgebra de $V$. El exterior de álgebra proporciona la natural maquinaria para formas diferenciales en la geometría diferencial.

He aquí un ejemplo de que el exterior de álgebra en la práctica. Supongamos que se desea clasificar a todos los nonabelian dos dimensiones de álgebras de Lie $\mathfrak{g}$. La Mentira de soporte de $[\cdot,\cdot]$ es antisimétrica y bilineal, por lo que la maquinaria del tensor de productos se convierte en un lineal mapa de $\bigwedge^2 V \rightarrow V$ donde $V$ es el espacio vectorial subyacente del álgebra. Ahora $\bigwedge^2 V$ es unidimensional y desde el álgebra es nonabelian la Mentira de soporte no es en todas partes igual a cero; por lo tanto, en forma lineal mapa de la Mentira de soporte tiene una sola imagen tridimensional. A continuación, se puede elegir una base $\{X,Y\}$ $V$ tal que $[X,Y] = X$, y llegamos a la conclusión de que no es esencialmente un solo nonabelian Mentira álgebra estructura de dos dimensiones de espacio vectorial.

Un fantástico referencia en el tensor de productos de módulos fue escrito por Keith Conrad: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/extractos/linmultialg/tensorprod.pdf

59voto

Matt Dawdy Puntos 5479

Una vez que usted entienda lo que es un tensor de producto que es y lo que un espacio dual es, entonces, un tensor de tipo $(n, m)$ es un elemento de $V^{\ast \otimes m} \otimes V^{\otimes n}$ donde $V$ es algo de espacio vectorial. Esta es la misma cosa como una aplicación multilineales $V^m \to V^{\otimes n}$ o, si no te gusta la asimetría, una aplicación multilineales $V^{\ast n} \times V^{m} \to F$ (donde $F$ es el campo subyacente). Ejemplos:

  • Un tensor de tipo $(0, 0)$ es un escalar.
  • Un tensor de tipo $(1, 0)$ es un vector.
  • Un tensor de tipo $(0, 1)$ es un covector.
  • Un tensor de tipo $(1, 1)$ es una transformación lineal.
  • Un tensor de tipo $(0, 2)$ es una forma bilineal, por ejemplo, un producto interior.

Cuando se elige una base de $V$, puede escribir tensores en términos de la base natural en $V^{\ast \otimes n} \otimes V^{\otimes m}$ proveniente de los productos de la base sobre la $V$ con la correspondiente base dual en $V^{\ast}$. Aquí es donde la "matriz multidimensional" de la definición de un tensor viene, ya que esta es la generalización natural de la escritura de una matriz como una matriz cuadrada (que es equivalente a la escritura de un elemento de $V^{\ast} \otimes V$ en términos de la base $e_i^{\ast} \otimes e_j$ donde $\{ e_i \}$ es una base).

Cuando un físico dice "tensor", a veces, pueden significar un campo tensorial. Esta es una "globalización" de la definición anterior: es un conjunto compatible de decisiones, para cada espacio de la tangente $V = T_p(M)$ de un buen colector $M$, de un tensor de tipo $(n, m)$ como se define arriba. Tenga en cuenta que $V^{\ast}$ es la cotangente del espacio. Ejemplos:

  • Un campo de tensores de tipo $(0, 0)$ es una función suave.
  • Un campo de tensores de tipo $(1, 0)$ es un campo de vectores.
  • Un campo de tensores de tipo $(0, 1)$ es un diferencial $1$-forma.
  • Un campo de tensores de tipo $(1, 1)$ es una de morfismos de campos vectoriales.
  • Un campo de tensores de tipo $(0, 2)$ que es simétrica y no degenerada es un tensor métrico. Si también es positiva definida, es una métrica de Riemann. Si tiene la firma de $(1, n-1)$, es una de Lorenz métrica.

58voto

Nathan Bedford Puntos 3157

Los matemáticos y los físicos utilizan idiomas muy diferentes cuando se habla de los tensores. Afortunadamente, están hablando de la misma cosa, pero, por desgracia, esto no es obvio en absoluto. Me explico.

Para simplificar, me voy a centrar en el colectivo 2-tensores, ya que este caso ya contiene los principales intuición. También, no voy a hablar de la distinción entre covariante y contravariante, pero voy a conseguir todos los índices de derecho para un estudio futuro.

El físico de la definición

Definición: Un covariante 2-tensor es un conjunto de números de $t_{ij}$ con dos índices que se transforma en una forma particular bajo un cambio de coordenadas... espera, Espera, coordenadas en qué espacio? Los físicos generalmente no lo menciona, pero que significan las coordenadas en un espacio vectorial $V$.

Más precisamente, vamos a $\{\vec e_i\}$ ser una base del espacio vectorial $V$. Entonces, cada vector de $\vec v$ puede ser expresada en términos de sus coordenadas de $v^i$ como sigue:

$$\vec v = \sum_i v^i \vec e_i .$$

Por lo tanto, hay dos objetos: el vector $\vec v$, lo que pienso de como "sólido" o "fundamental", y sus coordenadas $v^i$, los cuales son "efímero", ya que tengo que elegir una base $\vec e_i$ antes de que yo pueda hablar de ellos en todo.

Además, en una base diferente a $\{\vec e'_i\}$ de nuestro espacio vectorial, las coordenadas de uno y el mismo vector $\vec v$ son muy diferentes números.

$$ \vec v = \sum_i v^i \vec e_i = \sum_i v'^i \vec e'_i .$$

pero $v^i ≠ v'^i$. Así, el vector es lo fundamental. Sus coordenadas son útiles para los cálculos, pero son efímeros y dependen en gran medida de la elección de la base.

Ahora, cuando la definición de una covariante 2-tensor, los físicos de hacer algo muy misterioso: definen un objeto fundamental (= el 2-tensor) no describe directamente, pero sólo mediante la especificación de la forma de su efímero coordenadas y cambio cuando el cambio de base. Es decir, un cambio de base

$$ \vec e'_i = \sum_j R_i^a \vec e_a $$

le cambie las coordenadas $t_{ij}$ del tensor a través de

$$ t'_{ij} = \sum_{ab} R^a_i R^b_j t_{ab} .$$

Si eso no es totalmente intuitivo, no sé lo que es.

Matemático de la definición

Los matemáticos definen los tensores de manera diferente. Es decir, la de dar una forma directa y fundamental de la descripción de lo que es un 2-tensor y sólo entonces reflexionar sobre cómo se ve en diferentes sistemas de coordenadas.

He aquí la definición: un covariante 2-tensor $t$ es un bilineal mapa de $t : V\times V \to \mathbb{R}$. Eso es todo. (Bilineal = lineal en ambos argumentos).

En otras palabras, una covariante 2-tensor $t$ es una cosa que se come dos vectores $\vec v$, $\vec w$ y devuelve un número $t(\vec v, \vec w) \in\mathbb{R}$.

Ahora, ¿qué hace esta cosa en coordenadas? La elección de una base $\lbrace \vec e_i \rbrace$, bilinearity nos permite escribir

$$ t(\vec v, \vec w) = t(\sum_i v^i \vec e_i, \sum_j w^j \vec e_j) = \sum_{ij} v^iw^j t(\vec e_i,\vec e_j) .$$

Ahora, simplemente llame a los números de $t_{ij} = t(\vec e_i, \vec e_j)$ las coordenadas del tensor $t$ en base a la $\vec e_i$. Se puede calcular que estos números se comportan igual que los físicos nos dicen cuando se cambia la base a $\vec e_i'$. Así, el físico del tensor y el matemático del tensor son una y la misma cosa.

Producto Tensor

De hecho, los matemáticos hacer algo más avanzado, definen lo que se llama un producto tensor de espacios vectoriales. La definición anterior como un bilineal mapa es correcta, pero los matemáticos como para escribir esto como "$t\in V^*\otimes V^*$" en lugar de "$t: V\times V \to \mathbb{R}$ $t$ bilineal".

Sin embargo, para una primera comprensión de la del físico vs el matemático de la definición, no es necesario para entender la matemática producto tensor.

6voto

Antoine Benkemoun Puntos 5900

La mayoría de la noción general de lo que sé es que el tensor de producto de los módulos. Usted puede leer acerca de esto aquí http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product_of_modules

Desde espacios vectoriales son módulos, esta definición se especializa para espacios vectoriales. El producto tensor de elementos en estos espacios vectoriales que comúnmente se ve en la ingeniería y la física de los textos de uso frecuente (matrices) es básicamente un elemento en el producto tensor de la correspondiente espacios vectoriales.

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