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¿Por qué el volumen de una esfera $\frac{4}{3}\pi r^3$ ?

He aprendido que el volumen de una esfera es $\frac{4}{3}\pi r^3$ Pero, ¿por qué? El $\pi$ tiene sentido porque es redondo como un círculo, y el $r^3$ porque es 3-D, pero $\frac{4}{3}$ ¡es tan aleatorio! ¿Cómo puede alguien adivinar algo así para la fórmula?

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Heh "pi tiene sentido porque es redondo como un círculo"... bonita forma de describir uno de los trascendentales fundamentales :)

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espero que consigamos que el maldito marcado matemático funcione pronto, :)

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Así que siguiendo ese razonamiento el volumen de la esfera 4D es $\frac{1}{2}\pi^2 r^4$ porque es el doble de redondo que el círculo?

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Pete Puntos 2065

Además de los métodos de cálculo, Pappus y Arquímedes ya mencionados, Principio de Cavalieri puede ser útil para este tipo de problemas.

Suponga que tiene dos figuras sólidas alineadas una al lado de la otra, cada una de las cuales encaja entre los mismos dos planos paralelos. (Por ejemplo, dos pilas de monedas de un céntimo colocadas sobre la mesa, de la misma altura). A continuación, considera la posibilidad de cortar los dos sólidos por un plano paralelo a los dos dados y entre ellos. Si el área de la sección transversal así formada es la misma para cada uno de los sólidos para cualquier plano, los volúmenes de los sólidos son los mismos.

Si estás dispuesto a aceptar que sabes que el volumen de un cono es 1/3 del del cilindro con la misma base y altura, puedes utilizar a Cavalieri, comparando una semiesfera con un cilindro con un cono inscrito, para obtener el volumen de la esfera. Este diagrama (de Wikipedia) ilustra la construcción: mira aquí

Consideremos un cilindro de radio $R$ y la altura $R$ con, en su interior, un cono invertido, con base de radio $R$ coincidiendo con la parte superior del cilindro, y de nuevo la altura $R$ . Poner al lado una semiesfera de radio $R$ . Consideremos ahora la sección transversal de cada uno a la altura $y$ por encima de la base. Para el sistema cilindro/cono, el área de la sección transversal es $\pi (R^2-y^2)$ . Es lo mismo para la sección transversal de la semiesfera, como puedes ver haciendo el teorema de Pitágoras con cualquier vector desde el centro de la esfera a un punto de la esfera a la altura y para obtener el radio de la sección transversal (que es circular).

Como el cilindro/cono y la semiesfera tienen la misma altura, por el principio de Cavalieri los volúmenes de ambos son iguales. El volumen del cilindro es $\pi R^3$ el cono es un tercio, por lo que el volumen de la semiesfera es $\frac{2}{3} \pi R^3$ . Así, la esfera de radio $R$ tiene volumen $\frac{4}{3} \pi R^3$ .

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Muy bonito esta es la respuesta que yo quería tener, pero no me cuadraba la imagen/comparación en mi cabeza.

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He aquí una bonita imagen visual its.caltech.edu/~mamikon/SpheReduced.html

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John Smithers Puntos 1459

Una respuesta completa utilizando el método del disco sería la siguiente.

Si gira $ y = \sqrt{ r^2 - x^2 } $ alrededor del eje x (y formar un sólido) se obtiene el volumen de una esfera.

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Formar un disco con altura $f(x)$ y encontrar su área.

enter image description here

El área del disco rojo de arriba es $ \pi r^2 $ o $ \pi f^2(x) $ , o podríamos decir $ \pi \sqrt{ r^2 - x^2 }^2 = \pi (r^2 - x^2) $ en cualquier punto x entre x=-r y x=+r.

Para encontrar el volumen de una esfera de radio r entonces, sólo hay que sumar las áreas de los discos infinitesimalmente delgados en cuando x va de -r a +r.

Para resolverlo:

$ \int_{-r}^{r}{ \pi \sqrt{ r^2 - x^2 }^2 dx } $

$ = 2 \pi \int_0^r{ r^2 - x^2 dx } $

$ = 2 \pi ( r^2x - \frac{1}{3}x^3 )|_0^r $

$ = 2 \pi ( r^3 - \frac{1}{3}r^3 ) $

$ = \frac{4\pi}{3}r^3 $

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Así es exactamente como encontré por primera vez el volumen de la esfera (y probablemente miles de personas antes que yo), es la forma más directa.

4 votos

Creo que esta es la respuesta más adecuada a la pregunta. Hay algo en averiguar esto por tu cuenta que es muy satisfactorio, ya que realmente pasas gran parte de tu vida tomando esto junto con varias otras fórmulas en la fe, pero una vez que ves que la derivada de pi*r^2 es la circunferencia, empiezas a ver por qué pi no es sólo 3,lo que sea, sino que es realmente una proporción que relaciona la circunferencia de un círculo con su diámetro.

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Hay mucho en común entre la impresión 3D y las integrales de volumen...

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pix0r Puntos 17854

Teorema del centroide de Pappus (segundo teorema) dice que el volumen de un sólido formado al girar una región alrededor de un eje es el producto del área de la región y la distancia recorrida por el centroide de la región al girar. Una esfera puede formarse girando un semicírculo en torno a su diámetro.

El área del semicírculo es $\frac{1}{2}\pi r^2$ . El centroide del semicírculo se puede encontrar mediante la intersección de dos líneas que dividen el área del semicírculo en dos partes iguales. Una de estas líneas es perpendicular a la arista del diámetro y pasa por el centro del semicírculo (es una línea de simetría del semicírculo). Otra línea es paralela a la arista del diámetro, $\frac{4r}{3\pi}$ de la misma (la comprobación de esto se deja como ejercicio para el lector). Al girar sobre el borde del diámetro del semicírculo, el centroide se desplaza $2\pi\cdot\frac{4r}{3\pi} = \frac{8}{3}\cdot r$ por lo que el volumen de la esfera es $\frac{1}{2}\pi r^2\cdot\frac{8}{3}\cdot r = \frac{4}{3}\pi r^3$ .

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Tao Zhyn Puntos 1036

Para darle una mayor perspectiva, el volumen de un $n-1$ -esfera en $\mathbb{R}^n$ viene dada por $C_n r^n$ , donde $r$ es el radio y $C_n=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}$ . Incluso para $n$ esto se reduce a $C_n =\frac{\pi^{n/2}}{\left(\frac{n}{2}\right)!}$ y para impar $n$ se convierte en $C_n =2^{(n+1)/2}\frac{\pi^{(n-1)/2}}{n!!}$ , donde $n!!$ denota el doble factorial.

Así, en el caso $n=3$ la constante es $2^2 \frac{\pi^1}{3!!} = \frac{4 \pi}{3}$ .

El objetivo de esto es mostrarte que la fórmula general también implica factores en el denominador, y que la fórmula de $n=3$ no es "aleatorio" sino que se ajusta a un patrón general.

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Nunca había visto este resultado, ¡me deja boquiabierto!

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Yuval F Puntos 15248

Lo más probable es que el láser no sea peligroso en absoluto cuando se utiliza normalmente porque es de muy baja potencia y está dentro de la parte visible del espectro. La idea es que sea una potencia lo suficientemente baja como para que su reflejo de parpadeo protegerá su ojo antes de que se produzca cualquier daño.

La peligrosidad de una determinada fuente láser depende de su potencia, densidad de potencia y longitud de onda, ya que éstas determinan qué parte del ojo se dañará, con qué rapidez y si se parpadeará. El artículo de Wikipedia sobre Seguridad láser ofrece un resumen bastante completo del asunto.

Como otros han escrito, la principal razón por la que los láseres son peligrosos en general es porque pueden concentrar una gran cantidad de energía en un área pequeña. Lo más probable es que la escuela quiera inculcar un sentido de respeto por los láseres e inspirar buenos hábitos de funcionamiento (ambos objetivos admirables), aunque en este caso probablemente estén exagerando el peligro.

Fuente: Tengo que hacer un curso de seguridad láser cada año por mi trabajo. Trabajo con láseres todos los días.

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