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¿Wolfram-Alfa dice que el límite existe cuando no es así?

Estaba tratando de calcular el siguiente límite:

$$ \lim_ {(x,y) \to (0,0)} \frac {(x^2+y^2)^2}{x^2+y^4} $$

y, alimentándolo en Wolfram-Alfa, obtengo la siguiente respuesta, estableciendo que el límite es $0$ : enter image description here

Sin embargo, cuando intento calcular el límite cuando $x = 0$ y $y$ se acerca a 0, el límite es 1...

¿La respuesta dada por Wolfram-Alfa está equivocada? ¿O lo estoy yo?

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En general nunca confíes tanto en cualquier sistema de álgebra computacional, son tan limitados.

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"son tan limitados": ¿estás bromeando?

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@YvesDaoust Creo que la frase correcta debería ser "No son mágicas, y usarlas sin conocer las suposiciones o advertencias subyacentes que las acompañan es probable que te causen algún problema en escenarios específicos." Los sistemas de álgebra informática no engañan a la gente. Las personas engañan a las personas.

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StackTD Puntos 628

Este límite es un excelente ejemplo para ilustrar el poder de la prueba de (dos) caminos y aparentemente también un excelente ejemplo para ver que hay que tener mucho cuidado con la forma en que el software matemático trata este tipo de problemas.

Sin embargo, cuando intento calcular el límite cuando x = 0 e y se acerca a 0, el límite es 1...

¿Se equivoca el Wolfram? ¿O no?

Tienes razón ya que, como dices: $$\lim_{x \to 0} \left( \lim_{y \to 0} \frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x^2+y^4} \right) =\lim_{x \to 0} x^2 =0 \quad \color{red}{\ne} \quad \lim_{y \to 0} \left( \lim_{x \to 0} \frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x^2+y^4} \right) =\lim_{y \to 0} \frac{y^4}{y^4} =1$$

WolframpAlpha produce una decente parcela donde se puede ver claramente la parábola $x^2$ cuando se establece $y=0$ pero también se puede ver la "línea" a la altura $1$ cuando se establece $x=0$ .

enter image description here

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Clement C. Puntos 16603

Esto es sólo para complementar la excelente respuesta de StackTD, que muestra correctamente que tienes razón - el límite no existe (ya que se pueden encontrar dos caminos diferentes hacia el origen a lo largo de los cuales los límites de la función difieren) . El mensaje clave es:

No intente límites en más de una variable con Mathematica o WolframAlpha.

(de hecho, yo iría más allá y sugeriría: No intente límites en más de una real variable con Mathematica o WolframAlpha. )

Véase, por ejemplo este hilo en Mathematica.SE que se extiende en explicar que uno puede intentar hacerlo -- spoiler, es complicado . Citando a un comentario de allí, de Jens :

Con Limit En este caso, siempre estás restringido a una línea en el espacio mayor, y no puedes hacer afirmaciones sobre la existencia del límite en el sentido del espacio de mayor dimensión. Para ello tienes que demostrar la independencia del resultado respecto a la dirección de la recta. Si se configura intencionadamente una función para que tenga diferentes límites a lo largo de diferentes líneas, no (sic) ver qué más se puede hacer con Mathematica .

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Se puede añadir que hay funciones para las que el límite en un punto no existe, aunque los límites a lo largo de cada línea recta a través de ese punto existen, y todos están de acuerdo.

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@MarcvanLeeuwen ¿Puede suceder incluso si requerimos que $f$ se define y continua en un disco perforado alrededor de $(0,0)$ ? Es decir, si $f:\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 < x^2+y^2 < \epsilon^2\} \to \mathbb{R}$ es continua, ¿puede ocurrir que todos los límites a lo largo de las líneas rectas que tienden a $(0,0)$ existen y están de acuerdo, y aún así el límite bidimensional no existe?

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@JeppeStigNielsen Sí, prueba $\def\R{\Bbb R}f:\R^2\to\R$ definido por $f(x,y)=g(\frac y{x^2})$ para $x\neq0$ y $f(0,y)=0$ , donde $g:t\mapsto t\exp(-t^2)$ es una función que va a $~0$ para $t=0$ y $t\to\pm\infty$ .

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Yves Daoust Puntos 30126

Wolfram Alpha evalúa correctamente

$$ \lim_{x\to0}\lim_{y\to0} \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^4}= 0 $$

y

$$ \lim_{y\to0}\lim_{x\to0} \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^4}= 1. $$

Por lo tanto, habría que cuestionar el significado de un límite introducido como $(x,y)\to(0,0)$ .

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Por ejemplo, "en ninguna parte de la documentación está escrito que Los límites no se evalúan secuencialmente, ya que la documentación de Mathematica sólo menciona límites de una sola variable".

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