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Simplificación de una identidad de matriz gamma aparentemente simple

Cuando se estudia en el libro del Sabio y Manohar, Quarks Pesados Física (página 102), me encontré con una aparentemente simple identidad de la que no soy capaz de demostrar. Es probable que un problema fácil, pero no puedo por la vida de averiguar por qué.

Primero se define la transversal de la derivada covariante,

$$D_\perp \equiv D^\mu - D \cdot v v ^\mu$$

donde $v^\mu$ es de alrededor de cuatro-vector que corresponde a 1 y, a continuación, escribir la identidad,

$$ \require{cancel} \cancel{D_{\perp}}\cancel{D_{\perp}} = D_\perp^2 +\frac{1}{2}[\gamma_\mu,\gamma_\nu] D_\perp^\mu D_\perp^\nu$$

Me hubiera pensé ingenuamente que todavía tendría la costumbre, $D_\perp^2= \cancel{D_{\perp}}\cancel{D_{\perp}} $. Por qué no es éste el caso?

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Robin Ekman Puntos 6938

No es el caso porque la gamma matrices no conmute y tampoco hacer los derivados de la covariantes. Siempre podemos escribir un tensor 2-índice como la suma de sus antisimétrica y su parte simétrica, $$D^\mu D^\nu = \frac{1}{2}(D^\mu D^\nu + D^\nu D^\mu) + \frac{1}{2}(D^\mu D^\nu - D^\nu D^\mu).$ $ la última parte desaparece precisamente cuando desaparece la curvatura (= fuerza del campo). Y también tenemos semejantemente para la gamma matrices $$\gamma^\mu\gamma^\nu = \frac{1}{2}( \gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\mu\gamma^\nu ) + \frac{1}{2}( \gamma^\mu\gamma^\nu - \gamma^\mu\gamma^\nu ) = g^{\mu\nu} + \frac{1}{2}[\gamma^\mu, \gamma^\nu].$$ Since an antisymmetric tensor contracted with a symmetric tensor gives 0, $% $ $\gamma^\mu\gamma^\nu D_\mu D_\nu = g^{\mu\nu}\frac{1}{2}(D_\mu D_\nu + D_\nu D_\mu) + \frac{1}{2}[\gamma^\mu, \gamma^\nu] D_\mu D_\nu = D^\mu D_\mu + \frac{1}{2} [\gamma^\mu, \gamma^\nu] D_\mu D_\nu.$la mitad en primer término se cancela por la métrica ser simétrico.

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