Personalmente he tropezado con algunos conceptos que se reducían a un abuso de la notación, y he leído de muchos más en el intercambio de pilas. Parece que todo se perdona con un gesto de la mano. ¿Por qué lo toleramos?
Entiendo que más adelante en los estudios se den por supuestas las cosas, pero hay muchos libros de texto que dan por supuestas ciertas cosas antes de enseñarlas. Es una pregunta muy suave, pero creo que hay que hacerla.
Dudo que pueda decirlo mejor que esto:
"El estudiante de matemáticas tiene que desarrollar una tolerancia a la ambigüedad. La pedantería puede ser el enemigo de la perspicacia". - Gila Hanna
También recomiendo encarecidamente Artículo de Terence Tao describiendo las etapas "pre-rigurosa", "rigurosa" y "post-rigurosa" del desarrollo de un matemático.
Interesante. ¿Es así como te enseñan en los Estados Unidos? No recuerdo la época "pre-rigorosa" en mis estudios universitarios. Podría sugerir el bachillerato, pero eso no cuenta (especialmente cuando tienes tres años de ejército, y aproximadamente uno o dos años más antes de volver a la academia). Simplemente metemos a los niños en la era del rigor. Es divertido, y doloroso para la mayoría. Recuerdo que me gustaba mucho como estudiante de primer año. El problema es que a menudo se introduce (aquí) la era post-rígida demasiado pronto... así que eso es otro trauma para la mayoría de los estudiantes.
@AsafKaragila:Prácticamente todas las formas de matemáticas "orientadas al cálculo" son en realidad formas previas a la disciplina matemática real. La confusión se debe a que a) tendemos a darles nombres diferentes y b) son muchos más los estudiantes que aprenden las versiones prerrígidas que los que aprenden la verdadera disciplina. Por ejemplo, todos los escolares aprenden aritmética, pero sólo unos pocos aprenden la teoría de los números. Del mismo modo, la mayoría de los estudiantes de ciencias aprenden cálculo avanzado, pero sólo los de matemáticas suelen cursar Análisis Real y Complejo. Y las "pruebas" en estas formas anteriores son en realidad sólo derivaciones.
@RBarry: Evidentemente la mayoría de la gente aprende cálculos y matemáticas pre-rigurosas. Ese no era mi punto. Señalé que como estudiante de grado de matemáticas nunca conocí esa matemática pre-rigurosa, y que la etapa post-rigurosa llegó demasiado pronto para mi gusto (¡y no soy fanático del rigor!). Me preguntaba si los estudiantes de licenciatura de matemáticas en EE.UU. tienen una parte pre-rigurosa en su trayectoria académica. Se podría hacer la misma comparación con la cocina: "etapa de calentar y comer" frente a "etapa de receta" frente a "etapa de cocina creativa". No has entendido mi punto de vista por mucho.
Cuando uno escribe/habla de matemáticas, en el 99,99% de los casos el destinatario de lo que uno escribe es un humano, y los humanos son máquinas asombrosas: son capaces de utilizar el contexto, las conjeturas y todo tipo de información al descodificar lo que escribimos/decimos. Por lo general, es inmensamente más eficiente aprovechar esto.
Estoy de acuerdo, pero cuando se enseña un nuevo concepto a un alumno, donde no hay contexto en la mente del alumno, entonces es absurdo mantener este hábito.
Crear el contexto y entonces abusar de ella. Es subestimar a los estudiantes suponer que no serán capaces de enfrentarse a pequeños abusos de la notación y el lenguaje. Por supuesto, hay que ser explícito sobre lo que se va a abusar. Pero imaginemos un curso de álgebra lineal en el que se utiliza la notación para distinguir los ceros de diferentes espacios vectoriales.
@Mariano: Me has hecho recordar el primer curso de álgebra lineal que hice, en el que el texto sí hacía estas distinciones. Una de las identidades que aparecía en la portada del texto era $L(0_V) = 0_W$ . ("El amor es igual al deber").
Como Bourbaki está bastante ocupado y no es (todavía) miembro de este sitio, estoy publicando su respuesta (que escribió preventivamente hace unos 70 años) en su nombre:
En la medida de lo posible, hemos llamado la atención en el texto sobre el abuso del lenguaje, sin el cual cualquier texto matemático corre el riesgo de ser pedante, por no decir ilegible.
@JoeZeng: en algunos idiomas se escribe "Tú" con mayúsculas para indicar respeto, así que creo que puede ser algo en esa línea.
El abuso de la notación se tolera cuando la alternativa es peor.
En algunos casos, el abuso de la notación no es realmente un abuso, sino simplemente una falta de concreción. Por ejemplo, estoy seguro de que muchos considerarían
$$\arctan(+\infty) = \pi/2$$
un abuso de notación que pretende ser una abreviatura de
$$ \lim_{x \to +\infty} \arctan(x) = \pi / 2 $$
Pero si se hace un pequeño viaje a la teoría de la línea real extendida, se ve que la identidad es un hecho literalmente verdadero sobre la $\arctan$ en la línea real extendida (que es la extensión continua de la $\arctan$ sobre los reales).
Yo diría más bien que si $\arctan(+\infty)=\pi/2$ es un abuso de la notación depende del contexto. En el cálculo de primer año, por ejemplo, es, en el mejor de los casos, un abuso de la notación y, en el peor, simplemente un error.
Esto me recuerda las seis reglas elementales de Orwell ("La política y la lengua inglesa"), de las cuales la sexta es "Romper cualquiera de estas reglas antes que decir cualquier barbaridad". (Del manual de estilo de The Economist).
Como dije en mi comentario/pregunta debajo de tu pregunta, parece que usted está "abusando" (usando mal) la frase " abuso de la notación ."
En matemáticas, abuso de la notación se produce cuando un autor utiliza una notación matemática de una manera que no es formalmente correcta pero que parece que puede simplificar la exposición o sugerir la intuición correcta (siendo poco probable que introduzca errores o cause confusión). El abuso de la notación debe contrastarse con el mal uso de la notación, que debe evitarse. Un concepto relacionado con el anterior es el de abuso del lenguaje o abuso de la terminología, cuando no se utiliza la notación sino un término.
En particular, me refiero a su observación:
Entiendo que más adelante en los estudios se den por supuestas las cosas, pero hay muchos libros de texto que dan por supuestas ciertas cosas antes de enseñarlas.
En este caso, me parece que te quejas de que te encuentras con el uso de una notación que no entiendes ni has encontrado todavía, y para la que el autor/instructor no ha definido explícitamente. Esto NO es un abuso de la notación. Aquí es donde usted "habla" y PREGUNTA lo que se quiere decir (si está en clase). Alternativamente, en una situación así, tienes que tomar la iniciativa de entender la notación, mirar si el texto en cuestión tiene un apéndice o índice que defina la notación que utiliza, o puedes recurrir a alguna referencia para entender mejor la símbolos/anotaciones y sus diversos usos, que suelen depender del contexto.
Dicho esto, con respecto a lo que realmente se entiende por "abuso de la notación": todos somos humanos, y la notación matemática, como cualquier lenguaje, está sujeta a la ambigüedad, quizás menos que el lenguaje natural, pero no obstante, sigue estando sujeta a la ambigüedad.
La notación también proporciona un medio para comunicar, de forma compacta, lo que sería laborioso intentar comunicar de otro modo, aunque sea a costa de "abusar de la notación".
En cualquier caso, ser humano también significa que suele ser bueno evitar la pedantería y aprender a tolerar el uso/abuso/mal uso de cualquier lenguaje (matemático o no) por parte de los demás. Ciertamente, es posible que quieras decirlo cuando consideres que algo es un uso erróneo de la notación/lenguaje (y hacerlo de forma útil), pero decidir no tolerarlo es quizás ir demasiado lejos.
Y sospecho que todos tomamos "atajos", cuando los tenemos a mano y cuando podemos suponer con seguridad que se entenderá la notación de la que podemos "abusar". Ciertamente, hay una "línea fina" entre aprovechar los atajos notacionales y el "abuso" total de la notación que no transmite lo que se pretendía con su uso.
@CookieMonster "En cualquier caso, ser humano también significa que suele ser un bueno evitar la pedantería y aprender a tolerar el uso/abuso/mal uso de cualquier lenguaje (matemático o no) por parte de los demás... decidir no tolerarlo es quizás ir demasiado lejos. Y sospecho que todos tomamos "atajos", cuando los tenemos a mano y cuando podemos asumir con seguridad que la notación de la que podemos estar "abusando" será entendida. Ciertamente, hay una "línea fina" entre aprovechar los atajos notacionales y el "abuso" en toda regla de la notación que no transmite lo que se pretendía con su uso".
Sin más investigación estás diciendo que yo estaba usando una notación no estándar. Me permito mostrarle la siguiente referencia: ISO 31-11: p q signo de implicación si p entonces q; p implica q También se puede escribir como q p. A veces se utiliza. es.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 . Parece que sufres de una severa sobreestimación de ti mismo, lo único que te distrae aquí.
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Tal vez pueda explicar con más detalle cómo define el "abuso de la notación": ¿es cuando se introduce la notación, pero no se explica ni se define (es decir, se da por supuesto que se entiende)? o ¿se refiere a cuando se utiliza una notación no convencional en lugar de la estándar? O ambas cosas. Los ejemplos ayudarían.
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A veces, la buena notación no existe; incluso he oído decir que, en algunos casos, el simple hecho de conseguir una buena notación para algo puede ser un avance matemático importante. Por desgracia, no puedo encontrar una referencia.
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@Hurkyl Tal vez esto: "La invención del símbolo $\equiv$ de Gauss ofrece un ejemplo sorprendente de las ventajas que pueden derivarse de una notación apropiada, y marca una época en el desarrollo de la ciencia de la aritmética"? (G. B. Matthews en "Theory of Numbers", 1892)
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¡Lo aceptamos porque nadie es una notación-Lincoln para liberar la notación del horrible contexto en el que viven y que nos permite abusar de ella sin cesar para nuestro gran placer!
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Un abuso que ofusca, no sirve a nadie y debe ser erradicado de inmediato es el horrible uso de ${\cal L}\{f(t)\}$ para la transformada de Laplace. Sólo hay que escribir ${\cal L}f$ .
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Oh, recuerdo cómo cuando era un estudiante de primer año tomaba notas en las conferencias relacionadas con las matemáticas y trataba de purificar las matemáticas para no tener ninguna palabra en absoluto, excepto los títulos, los nombres y algunos comentarios menores, y debería ser lo más compacto posible. Ahora puedo hacer una demostración de un teorema de 10 páginas en una sola página para que pueda ver una imagen completa con un solo vistazo, ayuda mucho.
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@copper.hat De acuerdo, pero entonces hay que reescribir las tablas de transformaciones para que tengan $\mathcal{L}\{t\mapsto \sin t\}$ en lugar de $\mathcal{L}\{\sin t\}$ etc.
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@PavelM: O simplemente $\mathcal{L}\{\sin\}$ :-). Está demasiado arraigado como para cambiarlo, pero si tuviera que elegir un abuso notacional con el que he visto tropezar a los estudiantes, es la distinción (o la falta de ella) entre una función y su evaluación.
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@copper.hat Genial, pero no funcionaría para $\mathcal{L}\{1/(t^2+1)\}$ . Sí, a lo largo de la secuencia de cálculo/ecuaciones diferenciales los estudiantes se ven frenados por una comprensión insuficiente del concepto de función . Tener una notación que mezcle funciones y expresiones algebraicas no ayuda. Quizás aquí es donde los sistemas de álgebra computacional podrían ayudar, porque son menos tolerantes al abuso notacional. En Maple, y:=x^2 e y:=x->x^2 son cosas diferentes.
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@Korgan Yo he estado en el mismo barco que tú y he intentado utilizar una notación completamente correcta y bien definida siempre que ha sido posible. Créeme, en un curso tan sencillo como el de análisis básico, no era capaz de avanzar mucho más allá de 6-7 secciones sin tener que escribir cosas demasiado tediosas. En cambio, me rendí y adopté las notaciones sueltas.
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Tenga en cuenta que cada persona tiene un nivel diferente de tolerancia a los abusos de la notación. Por ejemplo, yo soy partidario de omitir el dominio de la cuantificación, pero incluir el cuantificador. Por ejemplo, escribiendo $\forall x.\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ (ligeramente abusivo) para significar que $\forall x \in \mathbb{R}.\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ (formal), que a menudo se escribe simplemente $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ (máximo abuso).
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Ha. Sólo escribe $\sin^{2} + \cos^{2} = \mathbf{1}$ .
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Me recuerda a esta respuesta: math.stackexchange.com/questions/1093696/