7 votos

Valor esperado de una Variable aleatoria continua

Yo he estado revisando mi probabilidad y estadísticas reservan y sólo se levantó para distribuciones continuas. El libro define el valor esperado de una variable aleatoria continua como:

$E[H(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} H(x)f(x)~dx$

siempre y cuando

$\int_{-\infty}^{\infty} |H(x)|f(x)~dx$

es finito.

Mientras comprendo la integral para calcular el valor esperado, estoy pudiendo ver por qué el 'proporcionado' toma el valor absoluto de $H(X)$. Por qué no es suficiente para definir solo es como:

$E[H(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} H(x)f(x)~dx$

siempre que sea finito.

6voto

Dilip Sarwate Puntos 14967

Dado que la función de densidad de $f(x)$ es no negativa, la integral fórmula para que la expectativa es que realmente la diferencia de las dos integrales con no negativo integrands (y por lo tanto no negativo de valor): $$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\mathrm dx = \int_0^{\infty} xf(x)\mathrm dx - \int_{-\infty}^0 \vert x\vert f(x)\mathrm dx. $$ Cuando ambas integrales son finitos, su diferencia es finita. Si uno de los las integrales se bifurca, pero la otra es finito, entonces algunas personas dicen $E[X]$ existe pero es ilimitado, mientras que otros niegan la existencia de $E[X]$ y decir que $E[X]$ es indefinido. (Tal vez este es ¿por qué muchos de los teoremas de la probabilidad de evitar la ambigüedad, a través de limitarse a las variables aleatorias con finito significa que en lugar de variables aleatorias cuyos medios existir). Si ambas integrales difieren, entonces la integral de la fórmula para $E[X]$ da un resultado de la forma $\infty - \infty$ y todo el mundo está de acuerdo en que $E[X]$ es indefinido.

En resumen, si $\int \vert x \vert f(x) dx$ es finito, entonces $\int x f(x) dx$ también es finito, y el valor de la última integral se llama la expectativa o el valor esperado o media de la variable aleatoria $X$ y se denota como $E[X]$, es decir, $$E[X] = \int_{\infty}^{\infty} x f(x) dx.$$

Nota agregada: en mi opinión, la diferencia entre decir que "$E[X] = \int xf(x) dx$ si la integral es finito" (como Sami quiere) y "$E[X] = \int xf(x) dx$ si $\int |x|f(x)\mathrm dx$ es finito" es que la segunda declaración recuerda a la lector casual para comprobar algo en lugar de saltar a injustificado conclusiones. Muchos estudiantes han erróneamente calcula que un Cauchy variable aleatoria con densidad de $[\pi(1+x^2)]^{-1}$ tiene valor esperado $0$ sobre la base de que el integrando $x\cdot[\pi(1+x^2)]^{-1}$ en la integral para $E[X]$ es una función impar, y la integral es a través de un intervalo simétrico con respecto al origen. Pero habría descubierto el error de sus maneras si tenían cuidadosamente comprueba si $$\int_{-\infty}^{\infty} \vert x \vert \frac{1}{\pi(1+x^2)} dx = 2 \int_0^{\infty} x\frac{1}{\pi(1+x^2)} dx $$ es finito.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X