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Si la Integral es cero entonces la función es cero casi en todas partes

He estado tratando de probar la siguiente declaración: Supongamos que un espacio de medida $(X, M, \mu )$ . Si $ \int_E f \: d \mu = 0$ para cada conjunto medible $E \in M$ Entonces $f = 0$ casi en todas partes en $X$ . Lo he probado definitivamente para el caso cuando $ \mu $ es una medida positiva, pero el complejo caso se me escapa por completo. Ya he probado que si $f = u + iv$ donde $u$ y $v$ son funciones reales, entonces $u = 0$ casi en todas partes y $v = 0$ casi en todas partes. A mí me parece muy claro entonces que $f = 0$ casi en todas partes, pero las definiciones formales con las que estamos trabajando son las siguientes:

Una propiedad P se mantiene casi en todas partes en un conjunto E si hay un conjunto medible N tal que P se mantiene en E \ N, y la medida de N es cero.

Por lo tanto, sé que hay conjuntos $A_u$ y $A_v$ con la medida cero de tal manera que $u = 0$ en $X \setminus A_u$ y análogo para $A_v$ . Lo que no sé todavía es si $A_u \cup A_v $ tiene la medida cero.

O tal vez estoy pasando por esto de la manera equivocada.

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Kenny Wong Puntos 28

Si $ \mu $ es una medida compleja, entonces existe una función medible $h$ con $|h(x)| = 1$ para todos $x \in X$ de tal manera que $$ d \mu = h \ d| \mu |.$$ Aquí, $| \mu |$ es la medida de la variación total asociada a $ \mu $ . Esta declaración se deriva del teorema del Radón-Nikodym. (Ver Rudin 6.12.)

Desde $ \int_E f d \mu = 0$ para todos los medidores $E$ se deduce que $$ \int_E f(x) h(x) d | \mu | = 0$$ para todos los medidores $E$ .

Pero la medida de la variación total $| \mu |$ es un positivo ¡Medir! Por la discusión en los comentarios, sabemos que su resultado se aplica a las medidas positivas! Así que deducimos que $$ f(x) h(x) = 0$$ casi en todas partes con respecto a $| \mu |$ .

Finalmente, $|h(x)| = 1$ para todos $x \in X$ . Por lo tanto $f(x) = 0$ casi en todas partes con respecto a $| \mu |$ . Ya que cualquier conjunto que sea nulo con respecto a $| \mu |$ también tiene una medida cero con respecto a $ \mu $ su resultado es el siguiente.

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