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Grupos de homotopía de múltiple topológico compacto

Estoy buscando una prueba de los hechos siguientes:

Cada topológicos compactos $n$-colector $M$ tiene un continuo y no nullhomotopic mapa de $f: S^k \rightarrow M$ para algunos esfera $S^k$$1 \leq k \leq n$.

Yo vine a este, mientras que la lectura de una prueba de Lyusternik-Fet teorema de que todas las compactas de Riemann colector tiene un circuito cerrado no trivial geodésica, pero no puede probarlo, ni encontrar ninguna referencia. La instrucción es equivalente a decir que un topológicos compactos colector tiene al menos un no trivial homotopy grupo en el rango de $1,...,n=dim(M)$. La afirmación es obvia si $M$ no es simplemente conexa, así que vamos a ver lo que se puede decir al $M$ es simplemente conectado.

Si $M$ es cerrado, [conectado] y orientable, entonces la Dualidad de Poincaré se aplica, por eso $H_n (M) = \mathbb{Z}$ (singular homología con coeficientes enteros). Ahora, incluso si todos los $\pi _k$ son triviales para $1 \leq k \leq n-1$, todavía podemos concluir Hurewicz teorema de Isomorfismo que $\pi_n(M)=H_n(M)=\mathbb{Z}$, y así hemos terminado.

Sin embargo necesito el caso más general de $M$ compacto, independientemente de orientability, y no entiendo cómo/por qué simplemente la conexión + compacidad juntos implica la existencia de un ser no trivial mapa de algunos de los más altos de la esfera.

3voto

SL2 Puntos 3145

Cualquier espacio de la cubierta conectada de $M$ corresponde a una clase de GACION de subgrupos de $\pi_1(M)$, y así si $M$ es simplemente conectado entonces el único conectado cubriendo espacio de $M$ $1\colon M\to M$. Pero si $M$ es no orientable, entonces tendríamos una cubierta doble conectada ya $M$ está cerrado, una contradicción, y $M$ debe ser orientable.

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