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¿Por qué la derivada del área de un círculo es su perímetro (y de forma similar para las esferas)?

Cuando se diferencia con respecto a $r$ la derivada de $\pi r^2$ es $2 \pi r$ que es la circunferencia de un círculo.

Del mismo modo, cuando la fórmula del volumen de una esfera $\frac{4}{3} \pi r^3$ se diferencia con respecto a $r$ obtenemos $4 \pi r^2$ .

¿Es sólo una coincidencia, o hay alguna explicación profunda de por qué debemos esperar esto?

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(Me doy cuenta de que puede no estar claro lo que el $n$ -La generalización de la dimensión es de esto, pero tal vez esto sucedería incluso en diferentes geometrías o espacios métricos).

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Es profundo. Mira la versión más general del teorema fundamental del cálculo es.wikipedia.org/wiki/

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Ver sección 3 de TauDay.com para una explicación bastante elegante de esto, y el razonamiento del autor de por qué el área de un círculo debe ser $\frac{1}{2}\tau r^2$ en paralelo a las otras famosas formas cuadráticas $\frac{1}{2}m v^2$ y $\frac{1}{2}g t^2$ para hacer evidente que el área de un círculo es, de hecho, una integral de anillos crecientes de circunferencias.

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prakash Puntos 18075

Depende... si vas a cablear 100 conexiones, te conviene usar cable trenzado, ya que puedes conseguirlo más fino y flexible. Si se trata de unas pocas conexiones, el cable grueso no trenzado es más fácil de manejar.

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¿Radio interior del anillo o circunferencia interior?

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chaiwalla Puntos 1132

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Bd}{\partial}\DeclareMathOperator{\vol}{vol}$ Las fórmulas no son casuales, pero no son especialmente profundas. La explicación se reduce a un par de observaciones geométricas.

  1. Si $X$ es el cierre de un conjunto abierto acotado en el espacio euclidiano $\Reals^{n}$ (como una bola sólida, o un politopo acotado, o un elipsoide) y si $a > 0$ es real, entonces la imagen $aX$ de $X$ bajo el mapeo $x \mapsto ax$ (escala uniforme por un factor de $a$ alrededor del origen) satisface $$ \vol_{n}(aX) = a^{n} \vol_{n}(X). $$ En general, si $X$ es una zona cerrada, acotada y suave como un pedazo de tierra $k$ -en un colector de dimensiones en $\Reals^{n}$ y luego escalar $X$ por un factor de $a$ multiplica el volumen por $a^{k}$ .

  2. Si $X \subset \Reals^{n}$ es un límite, $n$ -intersección dimensional de semiespacios cerrados cuyos límites se encuentran a una distancia unitaria del origen, entonces la escala $X$ por $a = (1 + h)$ "añade una cáscara de espesor uniforme $h$ a $X$ (comportamiento del módulo a lo largo de las intersecciones de los hiperplanos)". El volumen de esta cáscara es igual a $h$ veces el $(n - 1)$ -de la frontera de $X$ hasta los términos añadidos de orden superior en $h$ (es decir, términos cuya contribución total al $n$ -El volumen dimensional de la cáscara es insignificante ya que $h \to 0$ ).

The change in area of a triangle under scaling about its center

Si $X$ satisface la propiedad 2. (por ejemplo $X$ es una bola o cubo o simplex de "radio unitario" centrado en el origen), entonces $$ h \vol_{n-1}(\Bd X) \approx \vol_{n}\bigl[(1 + h)X \setminus X\bigr], $$ o $$ \vol_{n-1}(\Bd X) \approx \frac{(1 + h)^{n} - 1}{h}\, \vol_{n}(X). \tag{1} $$ La aproximación se hace exacta en el límite como $h \to 0$ : $$ \vol_{n-1}(\Bd X) = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^{n} - 1}{h}\, \vol_{n}(X) = \frac{d}{dt}\bigg|_{t = 1} \vol_{n}(tX). \tag{2} $$ Por la propiedad 1., si $r > 0$ entonces $$ \vol_{n-1}\bigl(\Bd (rX)\bigr) = r^{n-1}\vol_{n-1}(\Bd X) = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^{n}r^{n} - r^{n}}{rh}\, \vol_{n}(X) = \frac{d}{dt}\bigg|_{t = r} \vol_{n}(tX). \tag{3} $$ En palabras, el $(n - 1)$ -volumen dimensional de $\Bd(rX)$ es la derivada con respecto a $r$ de la $n$ -volumen dimensional de $rX$ .

Este argumento falla para las cajas no cúbicas y los elipsoides (por nombrar dos) porque para estos objetos, el escalado uniforme en torno a un punto arbitrario no añade una cáscara de grosor uniforme (es decir, la propiedad 2. falla). De forma equivalente, si se añade una envoltura de grosor uniforme, no se obtiene una nueva región similar a la original (es decir, obtenida mediante un escalado uniforme).

(El argumento también falla para cubos (etc.) no centrados en el origen, de nuevo porque el escalado "descentrado" no añade una cáscara de espesor uniforme).

Con más detalle:

  • Al escalar un rectángulo no cuadrado se añade un "área más gruesa" al par de lados cortos que al par largo. De forma equivalente, si se añade una cáscara de grosor uniforme alrededor de un rectángulo no cuadrado, se obtiene un rectángulo con diferentes proporciones que el rectángulo original.

  • Al escalar una elipse no circular se añade un área más gruesa cerca de los extremos del eje mayor. De forma equivalente, si se añade una envoltura uniforme alrededor de una elipse no circular, se obtiene una región no elíptica. (El principio de que "la derivada del área es la longitud" falla drásticamente para las elipses: El área de una elipse es proporcional al producto de los ejes, mientras que la longitud de arco es un función no elemental de los ejes).

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+1 ¡Una respuesta fantástica! Es una pena que esta respuesta no reciba toda la atención que merece. La respuesta estándar a esta pregunta es, efectivamente, "Bueno, funciona por geometría, pero no nos preocupemos de por qué ". $S^n$ es un caso muy especial". En cambio, esta respuesta se centra realmente en por qué funciona y cómo se generaliza. Una respuesta muy buena, sin duda.

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Gracias; ¡me alegro de que te haya resultado útil! Ha sido un placer poder aportar algo a un post de "primeros mil", por no hablar de que he podido reflexionar sobre una cuestión matemática divertida.

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¿Podría estar esto relacionado con un caso especial del teorema de transporte de Reynolds o con la diferenciación generalizada bajo la regla de integración? es.m.wikipedia.org/wiki/

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Vincent Puntos 5027

La explicación es muy sencilla. Tomemos una esfera de radio $r$ , volumen $V$ y superficie $A$ . Ahora píntalo, con una capa de espesor $\delta r$ . El volumen de pintura necesario es (de primer orden en $\delta r$ ) $A\delta r$ que te da directamente: $$\delta V = A \delta r$$ Por lo tanto, en el límite:

$$\frac{dV}{dr} = A$$

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La respuesta más intuitiva aquí.

17voto

Michiel de Mare Puntos 15888

Porque se utiliza la integral (léase: antiderivada) para encontrar el área bajo la curva, incluso una curva en coordenadas polares.

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user2820579 Puntos 138

Hay un artículo en la web que trata, en profundidad, esta cuestión. He aquí una cita del mismo:

"Nos intrigó el trabajo de los estudiantes, y este documento es el resultado de nuestro intento de responder a la pregunta: "¿Cuándo la superficie es igual a la derivada del volumen?".

Aquí está el enlace:

www.math.byu.edu/~mdorff/docs/DorffPaper07.pdf

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Gracias, he visitado ese artículo tres veces en los últimos dos años, parece ser la palabra definitiva sobre el asunto. Me gustaría añadir otro artículo, uno que toma una ruta menos formal (me imaginé que aquí era el mejor lugar.) También examina cuándo se aplican las relaciones volumen-área-circunferencia, y las generaliza a polígonos 2D y poliedros 3D. Espero que otros encuentren este artículo tan útil como yo. apcentral.collegeboard.com/apc/members/courses/teachers_corner/

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