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Un número es un cuadrado perfecto si y sólo si tiene un número impar de divisores positivos

Creo que tengo la solución a este problema, pero el post de todas formas, para obtener información y soluciones alternativas/ángulos.

Para todos los $n \in \mathrm {Z_+}$ probar $n$ es un cuadrado perfecto si y sólo si $n$ tiene impar, número de divisores positivos.
Pensado para el uso de la inducción, pero los cuadrados perfectos no aumentará en 1.

$\Rightarrow$: Si $n$ es un cuadrado perfecto debe constar de 1+ factores primos de cada uno a una potencia par. Si $n$ consta de 1+ factores primos de cada uno a un poder que debe tener impar el número de divisores positivos.

$\Leftarrow$: Si $n$ tiene un número impar de divisores positivos debe constar de 1+ factores primos de cada uno a una potencia par. Si $n$ consta de 1+ factores primos de cada uno a un poder que debe ser un cuadrado perfecto.

Gracias.

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Zoinks Puntos 540

SUGERENCIA: Escriba$n = p_1^{a_1} \dots p_k^{a_k}$, donde$p_1, \dots, p_k$ son primos distintos. Entonces el número de divisores positivos de$n$ es dado por$(a_1 +1)(a_2 + 1)\dots(a_k+1)$. Para que este número sea impar, cada uno de los términos$a_i + 1$ también debe ser impar. ¿Qué nos dice esto acerca de cada$a_i$?

13voto

Oli Puntos 89

Si $a$ $b$ son distintos números enteros positivos tales que a $ab=n$, llame a la par $\{a,b\}$ un par, o en el business-oriented language de hoy, los socios. Llamar a un positivo divisor $a$ $n$ auto-suficiente si $a$ no tiene pareja. Tenga en cuenta que $a$ es auto-suficiente si y sólo si $\frac{n}{a}=a$, es decir, si y sólo si $n$ es un cuadrado perfecto y $a$ es su raíz cuadrada.

Si $n$ no es un cuadrado perfecto, el conjunto de los divisores positivos de $n$ se compone de un número, posiblemente $0$, de parejas, de modo que el número de divisores de a $n$ es incluso.

Si $n$ es un cuadrado perfecto, entonces el conjunto de divisores positivos de $n$ se compone de un número de parejas, junto con un auto-suficiente número, por lo que el número de divisores positivos es impar.

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