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Hacer "Parabólico Funciones Trigonométricas" existen?

La ecuación paramétrica

$$\begin{align*} x(t) &= \cos t\\ y(t) &= \sin t \end{align*}$$

traza el círculo unitario con centro en el origen ($x^2+y^2=1$). Del mismo modo,

$$\begin{align*} x(t) &= \cosh t\\ y(t) &= \sinh t \end{align*}$$

dibuja la parte derecha de una hipérbola ($x^2-y^2=1$). Las funciones trigonométricas hiperbólicas son muy similares al estándar de la función trigonométrica.

Similares existen funciones que realizan un seguimiento de las parábolas (porque es otra sección cónica) cuando se establece como ecuaciones paramétricas como las funciones anteriores? Si es así, son también similares a los de la norma y hiperbólicas funciones trigonométricas?

56voto

sewo Puntos 58

De hecho las hay, pero no están generalmente se llama eso. Lo ordinario trigonométricas y funciones hiperbólicas tienen en común es que son soluciones a la ecuación diferencial $$f''(t) = af(t)$$ Al $a$ es negativo, las soluciones son ordinario de senos y cosenos, escalar horizontalmente por un factor que depende de la $a$. Si usted toma una solución de $f$ y dibujar el gráfico paramétrico $(x,y)=(f'(t), f(t))$, el resultado es una elipse cuya excentricidad depende de $a$. Para $a=-1$ el ordinario de seno y coseno son soluciones, y se obtiene un círculo.

Por otro lado, cuando se $a$ es positivo que las soluciones son hiperbólica de senos o cosenos hiperbólicos, de nuevo con una escala horizontal factor que depende de la $a$. Una parcela de $(x,y)=(f'(t), f(t))$ es un brazo de una hipérbola con un ángulo central que depende del $a$. Para $a=1$ el seno hiperbólico y coseno son soluciones, y la hipérbola está en ángulo recto.

Intuitivamente, entonces, desde una parábola es el caso límite entre una elipse y una hipérbola, debemos esperar para obtener una "función parabólica" mediante el establecimiento $a=0$. Por desgracia, la ecuación diferencial se convierte entonces en $$f''(t)=0$$ cuyas soluciones son de primer grado de los polinomios, y es difícil hacer esas crear una parábola. Sin embargo, hay una manera de salir (muchas gracias a Qiaochu Yuanes para señalar esto!): En lugar de $f''(t)=af(t)$ podemos tomar el básico de la ecuación diferencial para ser $$f'''(t)=af'(t)$$ En el $a\ne 0$ caso de todos estos cambios es que nos permite añadir un término constante de soluciones, que sólo se mueve la cónica en el plano. Pero para $a=0$, las soluciones son ahora todos los polinomios de grado $\le 2$. Y cuando tomamos cualquier polinomio cuadrático $f$ y el complot $(x,y)=(f'(t), f(t))$, lo que tenemos es, de hecho, una parábola, centrado alrededor de la $y$-eje!

Si tomamos $f$ a un primer grado de polinomio, el gráfico paramétrico es sólo una recta (vertical) de la línea, otro caso límite de las secciones cónicas.

En todos los casos anteriores, el trazado $(f_1(t),f_2(t))$ para los dos no relacionados de soluciones (para el mismo $a$) generalmente produce una cónica de la misma es de tipo general, pero quizás se movió y se gira. Y la dependencia de $a$ de la excentricidad/de ángulo desaparece; que fue mediado a través de la derivada en el $x$ posición.

De modo que una "función parabólica" es simplemente otro (redundante) plazo de un polinomio cuadrático. No queda muy claro cual debería ser considerado como la parabólica del seno y del coseno, aunque. Los casos, podría ser hecha por cualquiera de las $\operatorname{sinp}(t) = t$ $\operatorname{cosp}(t) = 1+\frac12 t^2$ o de la otra manera alrededor, pero preocuparse demasiado acerca de que es una tontería.

8voto

Hammie Puntos 1

El problema generalizado de las formas de trigonmetry ha sido afectada en el pasado por varios autores, E. Ferrari (universidad de Roma) propuesto diferentes formas y demostrado el vínculo con funciones elípticas.

Dattoli, Migliorati y Ricci de la Ferrari enfoque para el estudio de la parabólica, funciones trigonométricas y el enlace correspondiente con polinomios de Chebyshev. Los documentos pertinentes han aparecido en arXiv:

5voto

jlupolt Puntos 369

Usted podría escribir algunas funciones equivalentes, pero que no sería muy útil. Por ejemplo, para $y = x^2 -1$: $$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4\tan^2 (t)}}{2\tan (t)}$$ $$y=\frac{1\mp\sqrt{1+4\tan^2 (t)}}{2\tan^2 (t)}$$

¿Por qué estas funciones son menos útiles que la habitual hiperbólicas y trigonométricas funciones, no sé.

4voto

Craig Miskell Puntos 1402

Esto es similar a otro post, así que voy a repetir mi respuesta:

La definición de cosp u = cosh 2u y sinp u = sqrt(2)*sinh u da la identidad cosp u - sinp^2 u = 1, cotp u - sinp u = cscp "u na u, y cscp" u na u - tanp u = secp u cscp " u na u, correspondiente a la parábola x - y^2 = 1. Estos son análogas a las funciones circulares con la definición de la ecuación x^2 + y^2 =1 o las funciones hiperbólicas, x^2-y^2 = 1.

3voto

Daniel G Puntos 21

Vamos a pensar acerca de las funciones trigonométricas como ser convenientes maneras de ir de cartesianas a coordenadas polares. La conversión de una "unidad" parábola de polar, usted obtendrá algo como

$$r = \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\sin\theta}{1 - \sin^2\theta}$$

dónde se puede llegar hasta la saciedad con identidades trigonométricas

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