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Diferencias de pares de potencias de enteros

Estoy interesado en las ecuaciones de la forma $n = x^a - y^b$, con números enteros $x, a, y, b, n$ y $a,b > 1$, para diferentes valores de $n$. Por ejemplo:

$1 = 3^2 - 2^3$
$2 = 3^3 - 5^2$
$3 = 2^7 - 5^3$
$4 = 2^3 - 2^2$
$5 = 3^2 - 2^2$

Hasta el momento, mi programa de Python bastante primitivo no ha encontrado ningún tal ecuación $n = 6$. Es probable que para cualquier entero dado, existen dos potencias de enteros por ahí que son diferentes por eso entero. ¿Ha esto se ha probado ser verdadero o falso?

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Dietrich Burde Puntos 28541

Ecuación de Diophantine de Pillai es dado por n $$ = a ^ x b ^ y $$ enteros $a,b,x,y,n$. Este es un tema clásico con muchos resultados y varias conjeturas. A. Herschfeld demostró que si $n$ es un entero con suficientemente grande $|n|$, entonces la ecuación $$ 2 ^ x − 3 ^ y = n $$ tiene a lo más una solución de $(x, y)$ % enteros positivos $x$y $y$. $|n|\le 10$ Mostró solamente para $n=-1,1,-5,5,-7,7$ allí es una solución.

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Casteels Puntos 8790

Creo que esto es probablemente falso en general, pero sólo porque los Estados OEIS 6 no tiene ninguna de esas soluciones. Es claro para mí si realmente se ha comprobado o simplemente que no soluciones se han encontrado después de una gran búsqueda, pero sospecho que el anterior. En cualquier caso, se debe buscar material relacionado con la conjetura de Pillai.

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