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¿Cómo exactamente hace Knuth ' obra notación flecha de arriba?

He hecho algunas investigaciones y encontré esto en Wikipedia. \begin{matrix}a\uparrow b=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matriz}\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b&={\ ^{b}a}=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} \\&&b{\mbox{ copies of }}a&&b{\mbox{ copies of }}a\end{matriz} todavía estoy un poco confundido sobre este tema. He hecho mucha investigación, pero parece que no puedo entender esto. ¿Alguien podría explicar esto de una manera comprensible? ¿De lo que he entendido, por ejemplo 2↑↑3 sería 2 ^ 2 ^ 2 = 16? ¿Entonces 2↑↑↑3 sería 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 = 256? ¿Estoy correcto o he interpretado mal esto?

14voto

erfink Puntos 737

De cerca! La idea detrás de la flecha hacia arriba notación es el llamado Hyperoperation Secuencia, que va así:

  • Sucesor: agregar $1$. $S(a)= a+1$
  • Además: se repite sucesor. $b+a = \underset{b \text{ copies}}{\underbrace{ S ( S( \dots S(a)))}}$
  • Multiplicación: la adición repetida. $b*a = \underset{b \text{ copies}}{\underbrace{ a + (a + (\cdots + a))}}$
  • Exponenciación: multiplicación repetida. $a^b = \underset{b \text{ copies}}{\underbrace{ a * ( a * ( \cdots *a))}}$. Esto se denota como $a \uparrow b$, tipo de aspecto a^b en una calculadora para calcular $a^b$.
  • Tetration: repite la exponenciación. $a\uparrow \uparrow b ={\ ^{b}a} =\underset{b \text{ copies}}{\underbrace{a^{a^{\dots^{a}}}}} = \underset{b \text{ copies}}{\underbrace{a\uparrow (a \uparrow (\cdots \uparrow a))}}. $ Tenga en cuenta que los paréntesis son de vital importancia! $ 2^{2^3} = 2^{(2^3)} = 2^8 = 256 \neq (2^2)^3 = 64$
  • Pentation: repite tetration.

Y así sucesivamente hasta llegar a un desbordamiento de pila. La mejor manera de pensar en esto es como la escritura de un programa recursivo para un equipo. En principio, se podría programar un ordenador para calcular $2^3$ la siguiente manera: $$2^3 = 2*(2*2) = 2+2 + 2+ 2 = 2+1+1+1+1+1+1.$$

En cuanto a tu ejemplo: $$\ ^3 2= 2 \uparrow \uparrow 3= \underset{3 \text{ copies}}{\underbrace{2 \uparrow (2 \uparrow 2)}} = 2 \uparrow \underset{2 \text{ copies}}{\underbrace{(2*2)}} = 2 \uparrow 4 = \underset{4 \text{ copies}}{\underbrace{2*2*2*2}} = 16.$$ Aviso de que se podrían haber sido incluso más recursiva en nuestra expansión.

De pasar a pentation (se repite tetration (repetición de exponenciación(...))): \begin{align*} 2 \uparrow \uparrow \uparrow 3 &= \underset{3 \text{ copies}}{\underbrace{ 2 \uparrow \uparrow ( 2 \uparrow \uparrow 2) }} \\ &= 2 \uparrow \uparrow ( \underset{2 \text{ copies}}{\underbrace{2^2}}) \\ &= 2 \uparrow \uparrow 4 \\ &= \underset{4 \text{ copies}}{\underbrace{2^{2^{2^2}} }} \\ &= 2^{2^4} \\ &= 2^{16} \\ &= 65536. \end{align*} De nuevo, observe que podríamos ser aún más explícito y romper la recursividad todo el camino hacia abajo a la función sucesor: $$2 \uparrow \uparrow \uparrow 3 = 2 + \underset{\text{many many copies}}{\underbrace{1 +1 \cdots + 1}}$$

Edited to add: more examples!

  • $n^n = \ ^{2} n = n \uparrow \uparrow 2$. $n^{n^n} = \ ^{3} n = n \uparrow \uparrow 3$.
  • $2 \uparrow \uparrow \uparrow 2 = \underset{2\text{ copies}}{\underbrace{ 2 \uparrow \uparrow 2}} = \underset{2\text{ copies}}{\underbrace{ 2 \uparrow 2 }} = \underset{2\text{ copies}}{\underbrace{ 2*2}} = \underset{2\text{ copies}}{\underbrace{ 2+2}} = 4$. Up-flechas a la segunda es un poco raro. Considere la posibilidad de que $a^2 = a*a$ cualquier $a$. Del mismo modo, $a \uparrow \uparrow 2 = \underset{2\text{ copies}}{\underbrace{a \uparrow a}}$. ¿Qué podemos decir, $2$ es extraño como un exponente (tetraponent?).

  • $3 \uparrow \uparrow \uparrow 3 = \underset{3\text{ copies}}{\underbrace{ 3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow 3)}} = 3 \uparrow \uparrow (\underset{3\text{ copies}}{\underbrace{3^{3^3} }}) = 3 \uparrow \uparrow 7625597484987$ que es $\underset{7625597484987\text{ copies}}{\underbrace{3^{3^{...^3}}}}$

  • Un googol es bastante grande---$10^{100} = 10^{10^2}$. Es tan grande que la escritura como $\underset{100\text{ copies}}{\underbrace{10*10 * \cdots *10}}$ ni siquiera realmente sentido. Tan grande como un googol es, es absolutamente positivamente minúsculo en comparación con $\ ^{10} 10 = 10 \uparrow \uparrow 10= 10^{10^{10^{10^{10^{10^{10^{10^{10^{10}}}}}}}}}$. Este es un número que es tan grande que no tiene sentido escribir en términos de exponenciación. Como gigantescas como $10 \uparrow \uparrow 10$ es, es una fracción de una fracción de una fracción de un porcentaje de $10 \uparrow \uparrow \uparrow 10$, que es tan grande que se expresa, como se repite tetration es poco práctico, y como se repite la exponenciación es casi intratable.
  • Graham Número
  • $1 \uparrow \uparrow \uparrow \dots \uparrow a= 1$. Cojo, pero coherente: $1^a = \underset{a\text{ copies}}{\underbrace{1*1* \cdots * 1}}= 1$ cualquier $a>0$.
  • $0 \uparrow \uparrow \dots \uparrow a = 0$. De nuevo, $0^a = 0$ cualquier $a>0$.
  • $n!$ crece bastante rápido: $1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, \dots$. Pero $n! \ll n^n = \ ^{2} n = n \uparrow \uparrow 2.$

5voto

Kevin Shoaf Puntos 21

Usted está en lo correcto que $2↑↑3$$16$. Parece que has calculado mal $2↑↑↑3$; que es mayor que $256$.

$2↑↑↑3$ puede ser escrito como $2↑↑(2↑↑2)$. Tenemos que $2↑↑2 = 2^2 = 4$, por lo que debemos calcular el $2↑↑4$.

Esta es una torre de cuatro doses: $2^{2^{2^2}} = 2^{2^4} = 2^{16} = 65536$.


Sólo para tener más de una idea de la flecha-notación y de la rapidez de los números puede crecer, vamos a ampliar el ejemplo de una etapa más en un par de maneras diferentes.

En primer lugar, ¿qué acerca de la $2↑↑↑4$? Este es el mismo que $2↑↑(2↑↑(2↑↑2))$ que, mediante el trabajo de arriba, sabemos que es $2↑↑65536$. En palabras, esta es una torre de $65336$ dos en dos!

Segundo, lo que si hemos tenido cuatro flechas? Resulta que $2↑↑↑↑3$$2↑↑↑(2↑↑↑2)$$2↑↑↑4$. La desintegración de la flecha de nuevo, esto es $2↑↑(2↑↑(2↑↑2))$. Estamos de vuelta para el primer ejemplo: una torre de $65536$ dos.

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