¿Podemos aplicar una función a un conjunto? ¿Qué significa $f(A)$ $A$ haya un conjunto de números?

Question

Por ej., que $ A = \{-2, -1, 0, 1, 2 ,3\} $

Que $f(x) = \lfloor \frac {x^2}{3}\rfloor $

¿Qué es $ f(A) $?

En caso de que alguien se pregunta, esto es la tarea, pero no estoy seguro de cómo proceder como no puedo encontrar nada en línea al respecto.

Answer 1

$f$ ha sido definida como una función en los números (de algún tipo). Su dominio y codominio comprenden los números (no de los conjuntos de números).

Por lo $f$ actos en los números, no se establece. No podemos, por así decirlo "pasar de un conjunto a través de" esta función. Sin más explicación, $f(A)$ no tiene ningún sentido, y a la pregunta "¿qué es $f(A)$?" es simplemente mal definidos.

Pero como Patrick Stevens señala, no es un común malo(?) la costumbre de usar algo como '$f(A)$' para significar $\{f(x) \colon x \in A\}$. Nota sin embargo que con la notación entendido de esta manera, cuando evaluamos $f(A)$ todavía no estamos "pasando el conjunto [números] a través de la función", se están pasando los números (miembros del conjunto,$A$) a la función!

Que el uso de '$f(A)$' puede sin embargo llevar a neurofibrilares en algunas situaciones, y ya tenemos alternativa inequívoca notaciones para la misma cosa (el sencillo que más me gusta es '$f[A]$'), es mejor evitarlo. Pero si el argot(?!) el uso que se pretende, como es probablemente el caso, entonces Patrick da la respuesta!

Answer 2

Sí, podemos, pero es un abuso de notación. Ser muy estrictos (aunque sólo un sistema teórico o lógico es probable que este estricto, por lo tanto, por qué Peter contesta en la negativa!), escribes $f"A$ o $f^{\to}(A)$, pero claro de contexto qué $f(A)$ se supone que significa: la imagen de todo en $A$ en $f$.

En su caso, que quieras $ de $$f"A = \left\{\left\lfloor \frac{x^2}{3} \right\rfloor: x \in A\right\}$ $\{0,1,3\}$.